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高等代数与解析几何69讲

高等代数与解析几何69讲

  • 课程分类:大学理工
  • 主讲:
  • 更新时间:2017-04-27 21:03
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  • 高等代数与解析几何69讲介绍
    高等代数与解析几何的改革是这些改革中的代表。高等代数与解析几何原是两门课程, 总共需用 4 个学期。这种情形不利于开设反映现代数学发展的新课程。从纯数学的观点来看高等代数与解析几何, 这两门课有许多重叠的地方,与现代数学的思想观念的联系也不够紧密。其实,高等代数是将几何抽象化, 解析几何是以代数的方法研究几何。陈省身先生和杨忠道教授, 王叔平教授经过大量的调研, 座谈等制订了这两门课程的改革方案, 确定将高等代数与解析几何两门课程并为一门课程。
    引 言(2)
    对新同学表示祝贺,并提要求。
    0.1概 述
    简单扼要介绍本课程内容.
    0.2预备事项
    介绍连加号、连乘号、数学归纳法及归纳定义.
    重点是数学归纳法及归纳定义.详细内容见教材的0.2.
    第一章 多项式
    只讲一元多项式.多元多项式视情况而定. 1. 1数域(2)
    注意引导同学回忆从自然数到复数的认识数的过程.强调有理数表示为两个整数的商.
    内容:教材1.1.
    1. 2一元多项式(2)
    定义及运算.强调运算的规律,特别是与线性空间有关的 规律.
    内容:教材1.2.
    1.3带余除法(2)
    带余除法是中学未学过的,注意带余除法中商式与余式的唯一性.同余概念也是新的.
    内容:教材1.3.
    1.4最大公因式(2)
    最大公因式的存在唯一性的理论证明、具体求法、性质,特别注意互素.
    内容:教材1.4.
     
    1.5因式分解(2)
    因式分解及其唯一性定理.最大公因式、最小公倍式与因式分解的关系.
    内容:教材1.5.
    1.6导数 重因式(2)
    多项式的导数与重因式的关系.
    内容:教材1.6.
    1.7多项式的根(2)
    用函数的观点理解多项式,同一数学对象可以从不同的 观点、角度去理解,这是学习、研究数学重要方法.让学生有一初步体会.
    代数学基本定理.不讲证明.
    内容:教材1.7.
    1.8有理系数多项式(2)
    以一些不可约的判别法为中心.同时使同学知道,数学中仍有许多待解决的问题.
    内容:教材1.8.
    1.9多元多项式(2)
    以对称多项式为中心讲述.
    内容:教材1.9.
    课时不足,可略去此节,建议在抽象代数中不讲多项式理论的应讲此内容.
    1.10例(2)
    内容:教材1.10.如果课时不够此节可不讲或少讲几个例子.
    第二章 行列式
    行列式的定义、性质及应用.
    2.1矩阵(1)
    矩阵的引入,行、列及元素的符号.
    内容:教材2.1.
    2.2行列式(1)
    归纳定义n阶行列式.
    内容:教材2.2.
    2.3行列式的性质(2)
    行列式的性质及例1、例2.
    内容:教材2.3.
    2.4行列式的完全展开(2)
    行列式的完全展开,代数余子式.
    内容:教材2.4.
    2.5 Cramer法则(2)
    线性方程组的定义, Cramer法则.
    内容:教材2.5.
    2.6例(2)
    通过例子介绍计算行列式的一些技巧.
    内容:教材2.6.
    第三章 矩阵
    本章主要矩阵运算及其性质.着重矩阵运算的规律和技
    训练.
    3.1矩阵的运算(2)
    矩阵的运算中注意乘法,这是同学第一次遇到非交换的乘法.还要注意矩阵的符号(行、列和元素)的运用.为以后熟练运用打下基础.
    内容:教材3.1.
    3.2可逆矩阵(2)
    可逆矩阵是同学在中学未曾碰到过的,注意非零方阵与可逆矩阵的区别.
    内容:教材3.2.
    3.3矩阵的分块(2)
    分块是矩阵运算的基本技巧之一.
    内容:教材3.3.
    3.4矩阵的初等变换与初等矩阵(3)
    初等变换源于线性方程组的加减消元法.初等变换与初
    等矩阵的关系.可逆矩阵与初等变换的关系,求逆矩阵的方法.
    内容:教材3.4.
    3.5矩阵与线性方程组(1)
    介绍线性方程组与矩阵间的关系,线行方程组的三种写法.
    内容:教材3.5.
    3.6例
    通过一些例子进一步,进行矩阵计算技巧的训练.
    内容:教材3.6.
    第四章 线性空间
    线性空间是线性代数的最基本、最重要的概念和理论.同时也是同学第一次接触到的非常抽象的概念和理论.与几何密切结合便于同学把握.
    4.1向量及其线性运算(2)
    向量及其几何表示,向量运算及其性质.满足线性空间的公理.
    内容:教材4.1.
    4.2坐标系(3)
    坐标系引入是数学发展的重要转折点,是数和形的结合.
    内容:教材4.2.
    4.3线性空间的定义(2)
    注意线性空间的广泛性,代数、几何与数学分析中都有线性空间.
    内容:教材4.3.
    4.4线性相关
    线性相关与线性无关是线性空间的最基础的概念,是向量 共线、共面 的抽象化.
    内容:教材4.4.
    4.5秩,维数与基(3)
    掌握线性空间的向量组的极大线性无关部分组及其所含向量个数(即向量组的秩)是以后学习的关键.替换定理起很重要作用.
    内容:教材4.5.
    4.6矩阵的秩(3)
    描述矩阵秩的多样性.求矩阵秩的方法.
    内容:教材4.6.
    4.7线性方程组(2)
    性方程组的完整理论.线性方程组的解法.线性空间理的很好的应用.
    内容:教材4.7.
    4.8坐标与基变换(3)
    将抽象的向量变为具体的坐标(矩阵).矩阵符号的运用,的功效.
    内容:教材4.8.
    4.9子空间(2)
    子空间的运算,维数公式,直和.
    内容:教材4.9.
    4.10商空间(2)
    注意商空间的几何模型.同余观念的一般化.
    内容:教材4.10.
    4.11线性空间的同态与同构(3)
    线性映射,同态及同构是现代代数学的最基本概念,为抽象代数奠定基础.