正在播放：【高考数学复习】立体几何基础篇

立体几何是高考数学的重要考点，主要考查大家对空间图形的认知、理解以及解决相关问题的能力。下面将从多个方面为大家梳理立体几何的基础知识。
一、立体几何基本概念
（一）点、线、面的位置关系
点与直线：点在直线上，意味着点是直线的一部分；点在直线外，则点不属于这条直线。
点与平面：点在平面内，表明点处于该平面范围中；点在平面外，即点不在这个平面内。
直线与平面：直线在平面内，说明直线完全包含于平面；直线与平面相交，代表直线和平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行，也就是直线与平面没有公共点 。
平面与平面：平面与平面相交，它们有一条公共直线；平面与平面平行，二者没有公共点。
（二）平行与垂直关系
直线与直线平行：两直线在同一平面内且无公共点，像平行四边形的对边，它们相互平行。
直线与平面平行：直线在平面外且与平面无公共点，例如将一支笔放在桌面上方，笔所在直线与桌面所在平面平行。
平面与平面平行：两平面无公共点，比如天花板所在平面和地面所在平面可看作平行关系。
直线与直线垂直：两直线在同一平面内且夹角为 90° ，像墙角处相交的两条直线，它们互相垂直。
直线与平面垂直：直线在平面内且与该平面内任意一条直线都垂直，比如旗杆与地面垂直，旗杆所在直线就垂直于地面上的任意直线。
平面与平面垂直：两平面相交且交线为一直线，若其中一个平面内有直线垂直于交线，那么这两个平面垂直，例如墙面与地面垂直，墙面和地面的交线是一条直线，墙面上有直线垂直于这条交线。
（三）角度与距离
异面直线所成角：通过平移使两直线相交，所形成的锐角或直角即为异面直线所成的角。比如正方体中，不共面的两条棱可通过平移来找到它们所成的角。
点到直线的距离：点到直线上任意一点的连线中，垂线段最短，这条垂线段的长度即为点到直线的距离。
直线与平面所成角：直线与它在平面上的射影所成的锐角或直角即为直线与平面所成的角。例如，将一根筷子斜插入水中，筷子在水面上的投影与筷子所成的角就是直线与平面所成角。
点到平面的距离：点到平面上任意一点的连线中，垂线段最短，这条垂线段的长度即为点到平面的距离。
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的度数即为该角的大小。像打开的书本，书页与书页之间形成的角就是二面角。
平行直线间的距离：两条平行直线中任意一条上的点到另一条直线的垂线段的长度即为两条平行直线间的距离。
二、常见立体图形及其性质
（一）柱体
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱可以按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱和斜棱柱，按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。比如长方体就是四棱柱的一种特殊情况，它的六个面都是矩形，且相对的面互相平行。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转形成的曲面所围成的几何体。圆柱有两个底面，底面是全等的圆，侧面是矩形。生活中的易拉罐就可看作是圆柱。
（二）锥体
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。按底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥等，其中正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心。
圆锥：以直角三角形的一条直角边为轴旋转形成的曲面所围成的几何体。圆锥有一个底面和一个顶点，底面是圆，侧面是扇形。比如圣诞帽的形状就类似圆锥。
（三）台体
棱台：由平行于底面的截面截棱锥得到，上下底面平行且相似，各侧棱延长后交于一点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分称为圆台。圆台有两个底面，侧面是梯形。比如一些灯罩的形状类似圆台。
（四）球体
以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的几何体。球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。像足球、篮球等球类都可看作球体。
三、立体图形的表面积和体积
（一）表面积
柱体：侧面积加上两个底面的面积。对于圆柱， ，其中 是底面半径， 是高；对于棱柱， ， 是底面周长， 是底面面积。
锥体：侧面积加上底面积。圆锥的表面积 ， 是底面半径， 是母线长；棱锥的表面积 ， 是高， 是底面面积。
台体：侧面积加上两个底面的面积。圆台的表面积 ， 、 分别是上下底面半径， 是母线长；棱台的表面积  ， 、 分别是上下底面周长， 、 分别是上下底面面积。
球体： ， 是球的半径。
（二）体积
柱体：底面积乘以高。圆柱的体积 ，棱柱的体积 ， 是底面面积。
锥体：底面积乘以高再除以 3。圆锥的体积 ，棱锥的体积 。
台体：上下底面积和乘以高再除以 2。圆台的体积 ，棱台的体积  。
球体： ， 是球的半径。
四、立体几何中的证明问题
（一）平行关系证明
线线平行：可通过证明两条直线在同一平面内且没有交点，或者利用平行线的性质，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来证明；也可以依据三角形、四边形的中位线与第三边平行，平行四边形对边平行等性质来证明 。
线面平行：证明一条直线与一个平面没有交点，或者利用线面平行的判定定理，即如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
面面平行：证明两个平面没有交点，或者利用面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。
（二）垂直关系证明
线线垂直：证明两条直线所成的角为 90 度，或者利用垂直线的性质，如一条直线垂直于另一条直线的平行线，那么它也垂直于这条直线。
线面垂直：证明一条直线与一个平面所成的角为 90 度，或者利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。
面面垂直：证明两个平面所成的二面角为 90 度，或者利用面面垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。