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第一单元对称、平移和旋转

1、画图形的另一半：（1）找对称轴（2）找对应点（3）连成图形。

2、正三边形（等边三角形）有3 条对称轴，正四边形（正方形）有4 条对称轴，正五边形

有 5 条对称轴，……正 n 变形有 n 条对称轴。

3、图形的平移：标的目的和距离。先画平移标的目的，再把关键的点平移到指定的地方，最后连接

成图。（本学期学习两次平移，如从左上平移到右下，先向右平移，再向下平移。）

4、图形的旋转：标的目的，中心点和旋转角度。先找点，再把关键的边旋转到指定的地方，（注

意标的目的和角度）再连线。（不管是平移还是旋转，基本图形不能改变。）

第二单元多位数的认识

数位挨次表：

我国计数是从右起，每 4 个数位为一级。

（1）什么叫数位、计数单位、数级？整数数位的摆列挨次是怎样的？从个位起依次说出各

个数位。

把计数单位按必然的挨次摆列起来，它们所在的位置，叫作数位。

计数单位有：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿。 从个

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位起，每四个数位是一级，一共分为个级、万级、亿级。

（2）每相邻两个计数单位之间有什么关系？

10 个一万是十万；10 个十万是一百万；10 个一百万是一千万；10 个一千万是一亿。 每

相邻的两个计数单位之间的进率都是 10，这种计数方法叫十进制计数法。

2.复习多位数的读、写法。

（1）多位数的读法。

从高位读起，一级一级地往下读。读亿级或万级的数，先按照个级的读法读，再在后面加

上一个“亿”字或“万”字。每级中间有一个 0 或连续几个 0，都只读一个零；每级末尾的零

都不读。

（2）多位数的写法。

先写亿级，再万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写 0。 3.

复习数的改写及省略。

改写。可以将万位、亿位后面的 4 个 0、8 个 0 省略，换成“万”或“亿”字，这样就将整

万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。

省略。省略时一般用“四舍五入”的方法。是“舍”还是“入”，要看省略部分的尾数最

高位是小于 5、等于 5 还是大于 5。

省略“万”后面的尾数写近似数，看万级和千位。

省略“亿”后面的尾数写近似数，看亿级和千万位。

4.比大小

位数不同，位数多的数就大；位数相同，左起第一位的数大的阿谁数就大；如果左起第一

位上的数相同，就比力左起第二位上的数，以此类推。

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第三单元三位数乘两位数

1、三位数乘两位数，所得的积不是四位数就是五位数。

2、三位数乘两位数的计算法则：

先用两位数的个位上的数与三位数的每一位相乘，乘得的积和个位对齐，

再用两位数十位上的数与三位数的每一位相乘，所得的积和十位对齐，

最后把两次乘得的积相加。

3、末尾有 0 的乘法计算方法：现把两个乘数不是零的部分相乘，再看两个乘数末尾一共有

几个零，就在积的末尾加几个零。

4、常见的数量关系

（1）价格问题： 总价=单价×数量 数量=总价÷单价 单价=总价÷数量

（2）行程问题： 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

（3）工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率

工作效率=工作总量÷工作时间

第四单元用计算器探索规律

1、积的变化规律：

①一个因数缩小几倍，另一个因数扩大相同的倍数，积不变。

②一个因数缩小(或扩大几倍)，另一个因数不变，积也随着缩小(或扩大)几倍。

2、商的变化规律：

①被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，（0 除外），商不变。（余数会变）

②被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，商也随之扩大（或缩小）几倍。

③被除数不变，除数缩小几倍（0 除外），商反而扩大几倍。

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第五单元解决问题的策略

1、已经两个数的和（即两个数一共是多少），两个数的差（即一个数比另一

个数多多少），求这两个数。（线段图记在头脑里，标题问题若要求画出线段图，一

定要注明所有条件和问题！）

解法：①（和-差）÷2=小的数 小的数+差=大的数

②（和+差）÷2=大的数 大的数-差=小的数

（注：3 个以上的数也是这样的道理，就是想办法使它们一样多，然后同理

可求）

2、已经两个数的和（即两个数一共是多少），大数拿 8 个（假设）给小数，

这样两个数一样多，求这两个数。（线段图记在头脑里）

首先明确：大数拿 8 个给小数 是大数比小数多 8 个吗？不是，大数应该比小

数多 2 倍的 8 个（也就是多2×8=16 个），只有这样拿8 个给小数，本身还有一个

8，两个数,才会一样多。（请注意和两个数的差区别开来）

解法：

一、①（和-2×8）÷2=小的数 小的数+16（注意不是加 8）=大的数

②（和+2×8）÷2=大的数 大的数-16=小的数

二、倒推法 先假设大数已经拿 8 个给了小数，两个数已经一样多了

总数÷2=平均数

小数变成平均数是因为得到了 8 个，要求本来的，那应该把 8 个减去

平均数-8=小数

大数同理应该加上 8 个

平均数+8=大数

3、一个数是别的一个数的几倍（假设7 倍），把大数拿一些给小数，这样两

个数一样多，应该先画出线段图，看大数应该拿多的倍数的一半（如果多 6 倍，

那么应该拿给小数的应该是 3 倍），两个数一样多，再看一半倍数所对应的量是

多少个，从而先求出一倍的量（一般情况下是小数），再求出大数。

4、已知长或宽增加了多少米，面积就增加了多少平方米，求现在或本来的面

积。

首先应该能够熟练的画出示意图，注意：条件问题都要出现在示意图中！增

加的面积用实线表示。

可以先按照增加的面积和长或宽增加的米数，先求小长方形的长或宽（也就

是本来图形的宽或长），然后再考虑求什么的面积，可以按照面积公式直接求或

图形间的面积关系间接求，方法要灵活多变。

5、已知长或宽减少了多少米，面积就减少了多少平方米，求现在或本来的面

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积。

首先应该能够熟练的画出示意图，注意：条件问题都要出现在示意图中！减

少的面积用虚线表示。

可以先按照减少的面积和长或宽减少的米数，先求小长方形的长或宽（也就

是本来图形的宽或长），然后再考虑求什么的面积，可以按照面积公式直接求或

图形间的面积关系间接求，方法要灵活多变。

6、 若在正方形和长方形外开辟一条宽 1 米的路，求路的面积？

首先画出示意图蓝色部分是要求的面积

正方形 长方形

解法 1：

正方形：因为边长摆布都增加了 1 米，所以现在的边长=本来边长+2，再求现在的面积，

然后路的面积=现在的面积-本来正方形的面积

长方形：因为摆布两边都增加了 1 米，所以现在的宽=本来的宽+2，现在的长=本来的长+2，

知道现在的长与宽求出现在的面积，然后路的面积=现在的面积-本来长方形的面积

解法 2：面积分割

7、 如果长方形的长和宽同时增加 1 米，求增加的面积？

首先画出示意图,红色部分是要求的面积

解法 1：

长和宽增加 1 米后围城的图形还是一个长方形，要求增加的面积只要算出现在的面积和原

来的面积就可以了，

现在的面积=（本来的长+1）*（本来的宽+1），

增加的面积=现在的面积-本来的面积

解法 2：面积分割

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第六单元运算律

1、 加法交换律：a＋b＝b＋a

2、 加法结合律：(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)

3、 乘法交换律：a×b＝b×a

4、 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c) （连乘形式）

5、乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c 或 a×(b＋c) ＝a×b＋a×c 乘、加形式

拓展：(a－b)×c＝a×c－b×c 或 a×(b－c) ＝a×b－a×c 乘、减形式

6、连减：a—b—c＝a—(b＋c)

7、连除： a÷b÷c＝a÷(b×c) 注意：前面是减号或除号时，添去括号都要变符

号

1、加法运算定律：

①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a＋b＝b＋a 如:1+2=2+1 1+2+3=2+3+1

②加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个

数相加，再加上第一个数，和不变。

(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)

③加法的这两个定律往往结合起来一起使用。（加法交换律与结合律）

如：165＋93＋35＝93＋（165＋35）

2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。(结合连除)

a－b－c＝a－(b＋c)

3、乘法运算定律：

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

a×b＝b×a

②乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两

个数相乘，再乘以第一个数，积不变。

(a×b) ×c＝a×(b×c)

乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。

如：125×78×8 简算。

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③乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数别离与这两个数相乘，再把

积相加。

(a+b)×c = a×c + b×c（合起来乘等于别离乘）

(a-b)×c = a×c - b×c

4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。(结合连减)

a÷b÷c＝a÷(b×c)

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第七单元平行四边形和梯形

一、三角形

1、围成三角形的条件：较短两条边长度的和必然大于第三条边

活动边的范围：已知两边之差<活动边<已知两边之和

活动边最短=已知两边之差+1，活动边最长=已知两边之和-1

2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

3、三角形具有不变性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和

大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。

4、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。（两个内角的和大于第三个内角。）

5、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

（两个内角的和等于第三个内角。两个锐角的和是 90 度。两条直角边互为底和高。）

6、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（两个内角的和小于第三个内角。）

7、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是 180 度。

求三角形的一个角=180°－别的两角的和

（锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形有两条高落在两条直角边上；钝角三角

形有两条高在三角形外）。

8、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。

9、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，别的一条边叫做底，两条腰

的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条

对称轴（跟底边高正好重合。）

三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是 60°，

所有等边三角形的三个角都是 60°。）

10、有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于 45°，顶角等于

90°。

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11、等腰三角形的顶角=180°－底角×2=180°－底角－底角

12、等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2

13、一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形必然是等边三角形。

14、多边形的内角和=180°×（多边形的边数－2）

二、平行四边形和梯形

1、两组对边互相平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶

点向对边可以作两种不同的高。

底和高必然要对应。一个平行四边形有无数条高。

2、用两块完全一样的三角尺可以拼成一个平行

四边形。

3、平行四边形容易变形（不不变性）。生活中许多物体都利用了这样的特性。

如：（电动伸缩门、铁拉门、伸降机）把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变

了。平行四边形不是轴对称图形。

4、只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边叫做梯形的上底，较长的叫做梯

形的下底，不服行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高（无

数条）。

5、两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。

直角梯形有且只有两个直角。

6、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

7、正方形、长方形属于特殊的平行四边形。

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第八单元 确定位置

抽象座位表，认识数对

对数称为数对。（注意先写列后写行）

卫生间

动物园

用数对表示地点

注意：列和行的起点为 0，先写列再写行（列，行）

动物园（7，0） 卫生间（0，2）