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解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、 三种圆锥曲线的研究

（1）统必然义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为P到定直线的l距离，F，如图。

因为三者有统必然义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当01时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|>2a>0，F1，F2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

① 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

② 定量：

（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）

举焦点在x轴上的方程如下：

总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

1、 直线和圆锥曲线位置关系

（1） 位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

其中直线和曲线只有一个公共点，包罗直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包罗直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2） 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

一、椭圆及其性质

1．椭圆的定义

2．椭圆的焦点三角形

3．椭圆的标准方程

4．特殊的椭圆系方程

5．椭圆的几何性质

二、双曲线及其性质

1．双曲线的定义及理解

(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹。两定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距。

2．双曲线的标准方程

按照双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：

3．双曲线方程的几种常见设法

4．双曲线的几何性质

5．等轴双曲线及性质

三、抛物线及其性质

1．抛物线的定义

平面内与必然点F和一条定直线l(l不外F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线。

2．抛物线定义的理解

抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。

3．抛物线的标准方程和几何性质

【注意】对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上。

4．抛物线焦点弦的性质

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线与圆锥曲线的位置关系

【注意】直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件。

2．直线与圆锥曲线的相交弦的弦长

3．弦中点问题