高考专题
【高中数学】函数专题精讲
课程目录
- 1.1、具体函数的定义域【题号115-117】 (1)
- 2.2、抽象函数的定义域【题号118-123】 (1)
- 3.4、观察法求函数值域【题号129】 (1)
- 4.5、分离常数法求函数值域【题号130】 (1)
- 5.6、一次比二次、二次比一次函数值域【题号131】 (1)
- 6.7、二次比二次函数值域【题号132】 (1)
- 7.8、换元法求函数值域【题号133】
- 8.9、待定系数法【题号134-136】
- 9.10、换元法求函数解析式【题号137-139】
- 10.11、解方程组法求函数解析式【题号140-142】
- 11.12、分段函数求解析式【题号143-144】
- 12.13、抽象函数求解析式【题号145-146】
- 13.14、简单的分段函数【题号147-154】
- 14.15、常见函数单调性【题号155-157】
- 15.16、利用函数单调性比较大小【题号158-161】
- 16.17、利用单调性解不等式【题号162-164】
- 17.18、复合函数的单调性【题号165-168】
- 18.19、图象法判断函数单调性【题号169】
- 19.20、定义法判断函数单调性【题号170-171】
- 20.21、抽象函数单调性【题号172-174】
课程介绍
以下是高中数学函数专题的精讲内容：
函数的概念与表示
函数的定义1：设(A)，(B)是非空的实数集，如果对于集合(A)中的任意一个数(x)，按照某种确定的对应关系(f)，在集合(B)中都有唯一确定的数(y)和它对应，那么就称(f:A→B)为从集合(A)到集合(B)的一个函数，记作(y = f(x))，(xin A)。
函数的三要素1
定义域：自变量(x)的取值范围。求定义域时要注意：分式的分母不为(0)；偶次根式的被开方数大于等于(0)；对数函数的真数大于(0)等。
值域：与(x)的值相对应的(y)值的集合({f(x)|xin A})。
对应关系：是函数的核心，它规定了自变量(x)与函数值(y)之间的对应规则。
函数的表示法1
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如(y = 2x + 1)。
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系，适用于自变量取值较少的情况。
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，能直观地反映函数的性质。
函数的性质
单调性2
定义：设函数(f(x))的定义域为(I)，区间(Dsubseteq I)。如果对于任意(x_1)，(x_2in D)，当(x_1 < x_2)时，都有(f(x_1)f(x_2))，则称(f(x))在区间(D)上单调递减。
判断方法：定义法、导数法、图象法等。
奇偶性2
定义：设函数(f(x))的定义域为(I)，如果对于任意(xin I)，都有(-xin I)，且(f(-x)=f(x))，那么函数(f(x))是偶函数；若(f(-x)= -f(x))，那么函数(f(x))是奇函数。
图象特征：偶函数的图象关于(y)轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
周期性
定义：对于函数(y = f(x))，如果存在一个非零常数(T)，使得当(x)取定义域内的每一个值时，都有(f(x + T)=f(x))，那么函数(y = f(x))就叫做周期函数，(T)叫做这个函数的周期。
最小正周期：如果在周期函数(f(x))的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做(f(x))的最小正周期。
基本初等函数
一次函数：形如(y = kx + b)（(kneq0)），当(k>0)时，函数在(R)上单调递增；当(k<0)时，函数在(R)上单调递减。
二次函数：一般式为(y = ax^2+bx + c)（(aneq0)），其图象是一条抛物线。当(a>0)时，抛物线开口向上，函数在(x = -frac{b}{2a})处取得最小值(frac{4ac - b^2}{4a})；当(a<0)时，抛物线开口向下，函数在(x = -frac{b}{2a})处取得最大值(frac{4ac - b^2}{4a})2。
幂函数：形如(y = x^{alpha})（(alpha)为常数），当(alpha>0)时，函数在((0,+infty))上单调递增；当(alpha<0)时，函数在((0,+infty))上单调递减。
指数函数：形如(y = a^x)（(a>0)且(aneq1)），当(a>1)时，函数在(R)上单调递增；当(0
函数的零点3：对于函数(y = f(x))，使(f(x)=0)成立的实数(x)叫做函数(y = f(x))的零点，即函数(y = f(x))的图象与(x)轴交点的横坐标。
零点存在性定理3：如果函数(y = f(x))在区间([a,b])上的图象是连续不断的一条曲线，并且有(f(a)cdot f(b)<0)，那么函数(y = f(x))在区间((a,b))内至少有一个零点。
函数的概念与表示
函数的定义1：设(A)，(B)是非空的实数集，如果对于集合(A)中的任意一个数(x)，按照某种确定的对应关系(f)，在集合(B)中都有唯一确定的数(y)和它对应，那么就称(f:A→B)为从集合(A)到集合(B)的一个函数，记作(y = f(x))，(xin A)。
函数的三要素1
定义域：自变量(x)的取值范围。求定义域时要注意：分式的分母不为(0)；偶次根式的被开方数大于等于(0)；对数函数的真数大于(0)等。
值域：与(x)的值相对应的(y)值的集合({f(x)|xin A})。
对应关系：是函数的核心，它规定了自变量(x)与函数值(y)之间的对应规则。
函数的表示法1
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如(y = 2x + 1)。
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系，适用于自变量取值较少的情况。
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，能直观地反映函数的性质。
函数的性质
单调性2
定义：设函数(f(x))的定义域为(I)，区间(Dsubseteq I)。如果对于任意(x_1)，(x_2in D)，当(x_1 < x_2)时，都有(f(x_1)
判断方法：定义法、导数法、图象法等。
奇偶性2
定义：设函数(f(x))的定义域为(I)，如果对于任意(xin I)，都有(-xin I)，且(f(-x)=f(x))，那么函数(f(x))是偶函数；若(f(-x)= -f(x))，那么函数(f(x))是奇函数。
图象特征：偶函数的图象关于(y)轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
周期性
定义：对于函数(y = f(x))，如果存在一个非零常数(T)，使得当(x)取定义域内的每一个值时，都有(f(x + T)=f(x))，那么函数(y = f(x))就叫做周期函数，(T)叫做这个函数的周期。
最小正周期：如果在周期函数(f(x))的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做(f(x))的最小正周期。
基本初等函数
一次函数：形如(y = kx + b)（(kneq0)），当(k>0)时，函数在(R)上单调递增；当(k<0)时，函数在(R)上单调递减。
二次函数：一般式为(y = ax^2+bx + c)（(aneq0)），其图象是一条抛物线。当(a>0)时，抛物线开口向上，函数在(x = -frac{b}{2a})处取得最小值(frac{4ac - b^2}{4a})；当(a<0)时，抛物线开口向下，函数在(x = -frac{b}{2a})处取得最大值(frac{4ac - b^2}{4a})2。
幂函数：形如(y = x^{alpha})（(alpha)为常数），当(alpha>0)时，函数在((0,+infty))上单调递增；当(alpha<0)时，函数在((0,+infty))上单调递减。
指数函数：形如(y = a^x)（(a>0)且(aneq1)），当(a>1)时，函数在(R)上单调递增；当(0
函数的零点3：对于函数(y = f(x))，使(f(x)=0)成立的实数(x)叫做函数(y = f(x))的零点，即函数(y = f(x))的图象与(x)轴交点的横坐标。
零点存在性定理3：如果函数(y = f(x))在区间([a,b])上的图象是连续不断的一条曲线，并且有(f(a)cdot f(b)<0)，那么函数(y = f(x))在区间((a,b))内至少有一个零点。
