初三数学知识点 第一章 实数

 

　　★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算

 

　　☆内容提要☆

 

　　一、 重要概念

 

　　1.数的分类及概念

 

　　数系表：

 

　　说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)

 

　　2)有标准

 

　　2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0)

 

　　常见的非负数有：

 

　　性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

 

　　3.倒数： ①定义及表示法

 

　　②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。

 

　　4.相反数： ①定义及表示法

 

　　②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

 

　　5.数轴：①定义(“三要素”)

 

　　②作用：A.直不雅观地比力实数的大小;B.明确表现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

 

　　6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)

 

　　定义及表示：

　　奇数：2n-1

　　偶数：2n(n为自然数)

　　7.绝对值：①定义(两种)：

　　代数定义：

　　几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

　　②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标识表记标帜;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的标题问题，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

 

　　二、 实数的运算

 

　　1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)

 

　　2. 运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

 

　　分配律)

　　3. 运算挨次：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”

　　到“右”(如5÷ ×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

　　三、 应用举例(略)

　　附：典型例题

　　1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│

　　=b-a.

　　2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。

　　初三数学知识点 第二章 代数式

　　★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算

 

　　☆内容提要☆

 

　　一、 重要概念

　　分类：

　　1.代数式与有理式

　　用运算符号把数或表示数的字母保持而成的式子，叫做代数式。单独

　　的一个数或字母也是代数式。

　　整式和分式统称为有理式。

　　2.整式和分式

　　含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

　　没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

　有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

　　3.单项式与多项式

　　没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包罗单独的一个数或字母)

　　几个单项式的和，叫做多项式。

　　说明：①按照除式中有否字母，将整式和分式区别开;按照整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

　　=x, =│x│等。

　　4.系数与指数

　　区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

　　5.同类项及其合并

　　条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

　　合并依据：乘法分配律

　　6.根式

　　表示方根的代数式叫做根式。

　　含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

　　注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式(是无理数)。

　　7.算术平方根

　　⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);

　　⑵算术平方根与绝对值

　　① 联系：都是非负数， =│a│

　　②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

　　8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

　　化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

　　满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

　　把分母中的根号划去叫做分母有理化。

　　9.指数

　　⑴ ( —幂，乘方运算)

　　① a>0时， >0;②a<0时， >0(n是偶数)， <0(n是奇数)

　　⑵零指数： =1(a≠0)

　　负整指数： =1/ (a≠0,p是正整数)

　　二、 运算定律、性质、法则

　　1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

　　2.分式的性质

 

　　⑴基本性质： = (m≠0)

　　⑵符号法则：

　　⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)

　　3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

　　4.幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤

　　技巧：

　　5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

　　6.乘法公式：(正、逆用)

　　(a+b)(a-b)=

　　(a±b) =

　　7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

 

　　8.因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

 

　　9.算术根的性质： = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

 

　　10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .

 

　　11.科学记数法： (1≤a<10,n是整数=

 

　　三、 应用举例(略)

 

　　四、 数式综合运算(略)

 

①勾股定理：a 2 +b 2 =c 2 （注意区分斜边与直角边）；②在直角三角形 中，如有一个内角等于，，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一 半。 3.垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>，线段垂直平分线 上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。
4.三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次 方程。把ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为 常数项。解一元二次方程的方法：①配方法<即将其变为(x+m) 2 =0的形式>②公式法（注意在找abc 时须先把方程化为 一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 
2.根与系数的关系：当b 2 -4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2 -4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当b 2 -4ac<0 时，方程无实数根。如果一元二次方程ax 2 +bx+c=0的两根别离为x1、x2，则有：x1+x2=-b/a；x1·x2=c/a。 1.反比例函数的概念：一般地，y=k/x（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。（x为自变量，y为因 变量，其中x不能为零）。判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个 变量的乘积是否为定值<即xy=k>。（通常第二种方法更适用）；反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。反比 例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支别离位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；②当k<0时，双曲 线的两支别离位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴）， 但不会与坐标轴相交。 在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的 面积的和等于1。频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直不雅观。用 一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 
1.正切：定义在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。 ①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 2.正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边； 3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边； 4.余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边； 5.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切别离等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余 函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达： 若∠A 为锐角，则①sinA = cos(90°�6�1∠A）等等。 6.记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。 7.当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随 着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα ≤1，0≤cosα ≤1。同角的三角函数间的关系：tgα ·ctgα =1，tg α =sinα /cosα ，cotα =cosα /sinα ，sin 2 α +cos 2 α =1。 8.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边别离为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a 2 +b 2 =c 2 ；(2)两锐角的 2 关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：sinα 等等。
（4）面积公式。
（5）直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为 (a+b-c)/2，
（6）直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。 
1.二次函数的概念：形如y=ax 2 +bx+c(a，，b，是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实 数。 二次函数y＝ax 2 的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。描述抛物线常从开口标的目的、对称 性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数； ②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y 轴(或称直线x＝0)；
③当a＞0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当 a＜0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。④函数的增减性：
⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小， 抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0 时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0 时函数有最 大值，最大值是0。二次函数y=ax 2 +c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线。二次函数y=ax 2 +bx+c的图象的对 称轴及顶点。开口标的目的和大小由a来决定。|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降） 速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。