二次函数的解析式的求法是数学中的难点，不易掌握。它的基本思想是待定系数法，按照标题问题给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数。

01

定义型

此类标题问题是按照二次函数的定义来解题，必需满足两个条件：

1、a ≠0；

2、x的最高次数为2次．

例1、若 

是二次函数，则m =         .

解：由m2+ m≠0得:m≠0，且 m≠-1

由m2–2m–1=2得m=-1或m=3，∴ m=3 .

02

开放型

此类标题问题只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不惟一。

例2、(1)经过点A（0，3）的抛物线的解析式是

分析：按照给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足中的y=ax2+bx+c中的C=3，且a≠0即可∴y=x2+x+3（注：答案不惟一）

03

平移型

将一个二次函数的图像经过上下摆布的平移得到一个新的抛物线．要借此类标题问题，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；

当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口标的目的都没有改变，所以a得值不变．

以上三类标题问题多出现在选择题或是填空标题问题中。

04

一般式

当标题问题给出函数图像上的三个点时，设为一般式，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；

例4、图像经过（1，－4），（－1，0），

（－2，5），求二次函数的解析式：

解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意得：

05

顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数；

例5、图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）求二次函数的解析式：

06

两根式

已知图像与 x轴交于不同的两点(x1,0),(x2,0)，设二次函数的解析式为，按照标题问题条件求出a的值．

07

翻折型（对称性）

已知一个二次函数y=ax2+bx+c，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a( x – h)2 + k的形式．

（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口标的目的相反，即互为相反数．

（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．

（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口标的目的相反，即互为相反数．