正在播放：初中数学思维拓展课

归根结底是因为对解题策略的掌握程度，若解题的思维策略掌握清晰熟练，则能居高临下准确快速地解决问题，反之，则如盲人骑瞎马，解题多是靠运气。譬如为将帅者须深谙兵书之道，才能料敌先机应时而动，然后运筹帷幄决胜千里。

简单题、常规题模样长得都很相像，依靠记忆模仿机械训练可以掌握，但是能力题、综合题变化较多，若不讲究策略，就会产生较大困难或浪费较多时间。要想在中考的考场上获得胜利，不单标题问题要会做，要做对，还要保证解题的速度以争取充足的时间。那么时间从哪里来？这就要从策略的高度把握解题的全程，做到思路清晰、判断准确、方法优化，才能在有限的时间内又快又好地完成考试。

我们以比来群里老师问的几个标题问题为例来看从策略的高度来把握解题的重要性。

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例1.ΔABC中，∠ACB=120°，AB=3，则ΔABC周长的最大值为       。

法一：不雅观察联想、猜测推理

在班级出示这道题给学生后，有的学生迅速猜出了答案：当AC=BC时，周长为3+2√3应该是最大值。

我提醒学生：猜想可以，但不是瞎猜，要有合理的逻辑，你是怎样判断和推理的？

判断依据：按照轨迹定位法，由定线对定角知C点在圆弧上运动，不雅观察可知，当C与A、B重合时AC+BC=3为最小，在弧上运动时变大，并且周长的变化是对称的，所以画成函数图像周长的变化趋势应该是这个样子滴：

这样就可以合理地推测，当C在弧的中点时（或在AB的垂直平分线上）ΔABC的周长最大。

法二：几何变换

AB为定值先撇开不看，则AC+BC最小即可，如何得到AC+BC呢？咱们在书上总结了，线段和差用截补呀！在AC延长线长截CP=BC，则∠APB=60°为定角，点P的运动轨迹是圆弧，转化为定点A到定圆的最大路径，AP过圆心即可（即AP为直径时）。

法三：代数运算

如图，构造直角三角形利用勾股定理得：a2+b2+ab=9，得9-3ab=(a-b)2≥0，ab≤3，所以(a+b)2=9+ab≤12，a+b的最大值为2√3。

由以上策略解决下面这道题就可以手到擒来了：正方形ABCD边长为4，正方形EFGH顶点在正方形各边，则正方形EFGH的面积最小为        。

（1）从变化趋势看，当E点从D到A运动时，正方形EFGH的面积由大变小再变大，E点在AD中点时面积最大，是正方形ABCD面积的一半为8。

（2）用几何方法：正方形EFGH面积为1/2EG2，EG最小为平行线间距离为4，得面积为8。

（3）用代数方法：设AE=x，面积S=x+(4-x)2，得最小值为8。

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例2.如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B在线段OM、ON上滑动，求OC的最大值。

法一：动中寻定，以静制动

AB是直角三角形AOB的斜边为定值，则斜边上中线OP为定值，构造ΔOCP可得OC≤OP+CP=1+√3，所以OC最大值为1+√3。

法二：动静互换，轨迹定位

运动是相对的，让三角形ABC不动，则O点在以AB为直径的圆弧上运动，转化为定点C到圆弧的最长路径，OC过圆心即可。

有了这个策略，下面这2题便可以秒解了（提示与答案在文末）：

练习1.已知点P（0，2√3），等边ΔABC边长为2，BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值为       。

练习2.如图，已知ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，将ΔABC沿AD剪开，得到ΔADB和ΔAEC，保持ΔAEC不动，将ΔABD绕点A按逆时针标的目的旋转α°（0<α<360），当BE=DE时，则旋转角α=       。

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例3.在菱形ABCD中以B为顶点作等腰ΔBEF，∠EBF+∠ABC=180°，G为AF的中点，求证：CE=2BG。

这里的线段AD、CD是无关紧要打酱油的角色，有无对问题毫无影响，我们依“简单化”原则用个“减”法把它们删掉。题中的可供推理和尝试的线索很明显，一是“G是AF的中点”，可构造“A”形或“X”形基本图，二是“∠EBF+∠ABC=180°”，可作其中一角的邻补角便与另一角相等，三是“BA=BC，BE=BF”，可以联想双等腰“手拉手”模型。

如此，下面的图形就不难构造了：

构造1.

构造2.

构造3.

构造4.

这里我们是从“完形构造”的角度思考，关于中点最常用的基本图形是“A形”和“X形”，“A形”构造方法本色是把其中一个三角形以端点为中心放大一倍或缩小一半，“X形”构造方法本色是以中点为旋转中心把其中一个三角形旋转180度，这样操作之后自然就可以看出证明的思路和方法。还记得书中一题“已知两边求第三边上中线的取值范围”的六种构造方法吗？如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=2，求中线AD的取值范围。

我们的上述构图就是以不变应万变，贯彻构造基本图形这一通用策略，抓住缩放和旋转这一常用方法，辅助线作法就可以信手拈来摆布逢源，可见掌握解题的思维策略是多么地重要。

答案与提示

答案与提示：

练习1.动静互换：若ΔABC不动，可以看作P点在直线上运动，构造“将军饮马”模型可得最小值为A′B的长为2√7。

练习2.从条件看只是E、B、D三点的关系，C点可以忽略，把ΔABD看作不动，则点E绕A顺时针旋转，其轨迹为圆，又因BE=DE，E点在BD的垂直平分线上，两轨相交得两点，易求转过的角度别离为60°或120°。