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复数是一种数域(对加、减、乘、除运算封闭）的突破，可以视为是更底层的抽象，而我们平常所能够理解的实数是其选择性表达的结果，这样这种数学工具就有更加强大的对现实的解释能力。对于特定的复杂的实函数的积分，我们可以通过升维到复数域，在这种更加底层的层次进行我们所熟悉的运算；对于微分方程也可以积分变换为必然的代数方程。三大变换，傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换是我们对复杂信号的分析和处理的有力工具。而小波分析，可能是我们想要的模式识别的具体实现。

第一章　复数与复变函数

1.复数的模是不是微积分的o(ρ)，其作为ρ=(x^2+y^2)^1/2是一种高维的关系，虽然在微积分的运算中被忽略？

复数之间的比力不能用大小，我们可否引入新的测度？

幅角的运算与指数的运算相似、，这是i^2=-1带来的复杂变换关系从而带来必然的数学形式美。当然其根底是牢靠的，是三角公式的运算的结果。两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。其几何意义是将复数z1按逆时针标的目的旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。

棣模佛(De Moivre)公式就是一种推广，或者说是更一般的形式。当K为特定的值时，可以视为有n个模相等但幅角相差一个常数，均匀分布在一个圆的点。这就是一种周期性。

要理解复平面，就必需在复球面理解，这是高维理解低维？还是一种由i^2=-1带来的收敛？球面上的点，除去北极N外，都和复平面上的点之间存在一一对应的关系，而复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作￥。球面上的北极 N就是复数无穷大￥的几何表示。其实作为一种如同微积分的无穷小量的一种奇异点，可能就是这种悖论式的描述上的其能够收敛。

2.复变函数就是实函数的扩展（函数的对应关系，一个复变函数可以表示为一对二元实变函数的组合由于在特定情况下实部和虚部可以有必然的转化，即一种彼此作用），我们能够得到更普适的规律，即在实数域可能是矛盾的但在复数域是可以理解的各种定理，这是高维对底层情况的包含，能够在高维消除低维的矛盾。

基于集合论的各种定义，可以以必然的空间来表示这些集合。

严格的分析手段：对于任意确定的ε>0，总存在一个正数δ，使得对满足0<∣z-z0∣<δ的一切z，都有∣f(z)-A∣<ε,则称A为函数f(z)趋近于z0时的极限。只有ε、δ足够小，我们就有很大的理由相信这极限是绝对存在的。极限思想是一种边界。

函数的连续性，可导可微可积的基础（不严格，存在特例）；复变函数的连续性的充要条件是实部和虚部函数具有相对独立的连续性。我们的追求是有一种彼此作用的函数，可能需要在虚数的基础上继续抽象出更高次的封闭运算，如五行（w=w,w^2=+/-w,w^3=-w,w^4=w^3=-w,w^5=w^2=+/-w，我们需要考虑运算的先后挨次如同矩阵乘法不满足交换律，并且还存在共同的作用，我们需要引入博弈论来解释其最后的均衡）之于阴阳（i^2=-1自反律）。

变化的极限还是极限吗？

3邻域等等概念都是一套对所有元素的整体描述，是一种高维的概念，能够在这个层次进行各种运算。这也是一种如同极限的奇异点，能够形成如同悖论式的耦合的效果。所谓的内点、外点、边界点都是如同无穷小量的底层元素。于是就有开集闭集区域（连通开集称为区域）等等高维概念。这是一种抽象，也是一种升维。边界的概念是我们的极限，也是运算的基础。如有界集，闭曲线等等。这种连通性的存在使得我们可以考虑其拓扑性质。

第二章  解析函数

导数、解析函数的概念：导数，一种极限，是对变化率的求解，可以认为携带不同维度的信息。如果在区域D内都具有可导的性质，称f(z)在区域D内可导。而微分表现的是可以以必然的无穷小量Δz的线性加和来逼近整体的变化趋势。可导和可微是互逆的，可导必然连续，但连续不必然可导，可能需要用到勒贝格积分。解析的概念就是可导，就是连续，但这是一个整体的性质。（解析必然可导，可导不必然解析）其结果和数学分析的结论基本相同。

柯西-黎曼条件：解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件

解析函数与调和函数的关系

初等函数：

指数函数，欧拉公式，多阶导的不变性，加法定理，周期性

对数函数（多值函数），与幅角运算的相似性。

幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数、反双曲函数

初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，w=Argz函数有无穷个不同的值： ，Argz的任意一个确定的值记为argz ，是一种降维的表达，如同微积分的无穷小量。幅角函数可以分解成无穷个单值连续分支；

第三章  复变函数的积分

复变函数的积分的概念和计算：累加计算，也是求极限，在这个层次微分和积分是互逆运算。复函积分与路径无关，其求的是更高维度的量，如同第二类曲线积分。

柯西定理和柯西公式：当D是单连通区域，而f（z）是D上的解析函数时，复函数的积分与路径无关，即f（ z ）在 D内沿任意可求长闭曲线积分为零。积分只与起点和终点相关。

闭路变形原理：在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变。这与拓扑性质有必然的相关性，都是对不变性的描述。复合闭路定理

解析函数的高阶导数公式：f(z)的各阶导还是均在D中解析，有

原函数的加减运算可以等同于函数的积分运算。

格林公式：将区域积分的二重积分和曲线积分的一重积分进行互相转化，是牛顿-莱布尼茨公式的推广。是充要条件。

使用柯西公式进行积分计算：

平均值公式及最大模原理

调和函数，二元实变函数具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程，这可以与复变函数有必然的等价关系，由于解析函数的无穷可微性，所有可以认为解析函数的u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数

第四章级数

级数的收敛、分散：级数是如同函数的使用严格分析的数学对象，当然，连续函数和级数其实是可以等价的表述。函数的展开，如同无穷小量的分级。

洛朗定理：

第五章留数

函数在孤立奇点的留数概念：不满足柯西定理，即存在f(z)的孤立奇点z0时，该积分不必然等于0. f(z)在z0处的洛朗展开式中负一幂项的系数C-1就是留数，是积分的值。

留数定理：满足狄利克雷条件，有

留数的计算法，特别是极点处留数的求法

第六章  共形映射

共形映射：几何层次来理解复变函数，即对函数对应的曲线进行伸缩旋转处理，伸缩率和旋转角是曲线经映射后的局部变化的定量指标。

解析函数的映射的几个重要性质；第一类保角映射，任意一点都具有保角性和伸缩率不变性。第二类保角映射，任意一点都具有保持曲线的交角的大小不变但标的目的相反和伸缩率不变性。

掌握分式线性映射的主要性质；可以视为各种平移、旋转等等映射形成的新结构

掌握几个初等函数构成的映射

第七章傅里叶变换

积分变换，是一种如同求解原函数的方法，把函数f(x)乘以一个确定的二元函数，然后计算积分，。并且卷积也是相似的对函数的遍历。

傅里叶积分;理论上只要其满足狄利克雷条件（连续或只有有限个第一类间断点和只有有限个极值点，保证函数是可积函数.），周期函数可以以傅里叶级数逼近，即使不能，我们可以使用勒贝格积分，只要是连续的就可以进行积分运算。，可以按照欧拉公式转换为。

傅里叶变换;

δ函数及傅里叶变换;

傅里叶变换的性质

第八章拉普拉斯变换

时域转换为频域，连续的变化表达为一系列离散的频率的组合。

可以在代数方程层次计算微分方程的解，将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数，即微分方程的解。