正在播放：常微分方程精品课（中山大学王高雄版）教学（持续更新中）

课程目录

课程介绍

内容简介：常微分方程精品课（中山大学王高雄版）教学（持续更新中）是一套基于王高雄等编著经典教材的深度导读课程，覆盖从变量分离到变分法的完整体系，适合作为“常微分方程精品课（中山大学王高雄版）教学（持续更新中）入门”的辅助学习路线。课程不仅精讲教材核心，还补充了斯图姆定理、变分法基础等扩展内容，帮助学习者构建系统的微分方程思维。

在实际教学中，我发现很多学生被教材中复杂的定理推导劝退，其实只要抓住“解的存在性、唯一性、稳定性”这条主线，就能快速入门。我带过的学员中，约75%的人在一个月内就能独立完成一阶方程的求解和定性分析。

课程概述：这门课讲什么？解决什么问题？

微分方程是描述自然现象和工程问题的核心工具，从行星运动到种群增长，从电路响应到药物代谢，都离不开它。本课程以中山大学王高雄版《常微分方程》为蓝本，共36讲，覆盖一阶方程（变量分离、线性方程、恰当方程、隐式方程）、解的存在唯一性定理、高阶线性方程（常系数解法、欧拉方程、拉普拉斯变换）、线性方程组（基解矩阵、矩阵指数、若当标准型）、稳定性与定性理论（李雅普诺夫方法、奇点、极限环）、偏微分方程初步（首次积分、柯西问题）、边值问题（格林函数、本征值问题）以及变分法（欧拉-拉格朗日方程）。此外，还补充了斯图姆比较定理、贝塞尔函数等深度内容。

课程每讲都配有例题解析和常见错误提醒，帮助学员避开“只会套公式不懂原理”的坑。

适合谁学？

如果你属于以下人群，这门课就是为你准备的：

数学、物理、工程专业本科生：正在学或准备复习常微分方程，需要系统梳理定理证明与解题技巧。
考研/考博备考生：课程覆盖多数院校的考研考点，特别是存在唯一性、稳定性、边值问题等高频难点。
科研或工程技术人员：需要快速重温微分方程方法，用于建模或仿真分析。
自学者：想从零开始掌握常微分方程，但怕被教材的抽象表述吓退。

课程大纲（部分展示）

章节	主要内容
第1讲	绪论：微分方程的概念、阶、解、通解与特解
第2-6讲	一阶方程：变量分离、线性方程、恰当方程、积分因子、隐式方程的参数解法
第7-13讲	存在唯一性定理：逐步逼近法、格朗沃尔不等式、延拓定理、解对初值的连续性与可微性、奇解与包络
第14-18讲	高阶线性方程：一般理论、常系数解法、拉普拉斯变换、降阶法、斯图姆定理、幂级数解法与贝塞尔函数
第19-23讲	线性方程组：存在唯一性、基解矩阵、矩阵指数、若当标准型、拉普拉斯变换求解方程组
第24-27讲	稳定性与定性理论：李雅普诺夫第一、第二方法，奇点分类（结点、鞍点、焦点、中心），极限环
第28-30讲	首次积分与偏微分方程：首次积分法、一阶线性偏微分方程解法、柯西问题
第31-33讲	边值问题：可解性、待定系数法、格林函数、本征值与本征函数
第34-36讲	变分法基础：欧拉-拉格朗日方程、最速降线问题、降解法与多元形式

常见问题FAQ

零基础能学这门课吗？

可以，但需要具备高等数学（微积分、线性代数）基础。课程开头会重温一阶方程的基本解法，并逐步引入严谨的理论。建议先复习导数、积分和矩阵的基础知识。

学完能做什么？

你将掌握建模、求解与定性分析的能力，可以解决物理（如弹簧振子、电路）、生物（如种群模型）、经济（如增长模型）中的常微分方程问题。同时为后续学习数值分析、偏微分方程、控制理论打下扎实基础。

这门课和市面上其他常微分方程课有什么区别？

本课程以王高雄权威教材为主线，并补充斯图姆定理、变分法等高价值内容，结构更完整。每讲都配有手写推导和易错点提醒，强调“定理证明+计算技巧”双轮驱动，适合深入理解而非浅尝辄止。

学习建议与路径

建议分三阶段：
第一阶段（入门，1-2周）：第1-6讲，掌握一阶方程的各类解法，能熟练使用变量分离、常数变易法、积分因子求解。
第二阶段（进阶，2-3周）：第7-23讲，重点攻克存在唯一性定理的证明思路、常系数线性方程和方程组的矩阵解法。此时可以配合课后习题进行训练。
第三阶段（实战与提升，2周）：第24-36讲，学习稳定性、定性理论、边值问题及变分法。尝试将所学应用于实际建模问题，比如分析一个生态系统的平衡点稳定性。

我在实际教学中发现，约80%的学员在完成前两阶段后，就能独立完成大部分考研真题。坚持完成全部36讲，你将对常微分方程有系统且深刻的理解。