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课程介绍
本课程以线性泛函分析的基本理论为基础，以微分方程和积分方程的内容为背景，目的是把非线性泛函分析的基本思想、理论、方法和技巧传授给学生，并通过讲解这些理论、方法和技巧在一些具体实例中的应用，使学生们利用非线性泛函分析的基本理论、方法和技巧去解决科学研究中遇到的一些非线性问题。适用对象是基础数学、应用数学和计算数学的硕士研究生。
非线性泛函分析的理论与方法因其具有广泛与重要的应用背景，因此成为国际数学界近一时期的研究热点之一。在17世纪人们研究泛函极值问题采用的古典变分法，已经涉及到无穷维空间上的非线性映射，随着岁月的流逝，其后在自然科学和工程技术中出现了大量的非线性问题.例如Euler弹性问题、抱负不成压缩流体的漩涡运动、量子场论、万有引力的相对论、固体中的相变等，以及像经济学、遗传学、生物学等领域均出现了非线性现象.直到20世纪30年代，在集合论的基础上，借助经典微积分和线性泛函分析的思想，人们建立抽象空间的微积分，它的建立和成熟发展启发人们用泛函分析的不雅观点和方法研究各种非线性问题，标识表记标帜着非线性分析的研究翻开了新的一页.本章研究和讨论非线性算子的基本概念、抽象空间的微积分、隐函数与反函数定理以及特殊的非线性算子一单调算子的概念和性质.
本课程共分五章。
第一章论述非线性算子的一般性质，包罗连续性、有界性、全连续性、可微性等，并给出了隐函数定理和反函数定理。
第二章建立拓扑度理论。不仅建立了最重要的有限维空间连续映像的Brouwer度和Banach空间全连续场的Leray-Schauder度，并且论述了较常用的凝聚场的拓扑度和A—proper映像的广义拓扑度。
第三章将半序和拓扑度(不动点指数)相结合来研究非线性算子方程的正解，讨论了常用的凹算子和凸算子的正解及多解问题。
第四章主要证明强制半连续单调映像的满射性和强制多值极大单调映像的满射性。
第五章论述非线性问题中的变分方法，既包罗古典的极值理论，也包罗属于大范围变分学的Minimax原理和山路引理等。
