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中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨别离在本身的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直不雅观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直不雅观。

微积分( Calculus )是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。 它是数学的一个基础学科。内容主要包罗极限极限、微分学、 积分学及其应用。微分学包罗 求导数的运算， 是一套关于变化率的理论。它使得函数、 速度、加速度和曲线的斜率等均可 用一套通用的符号进行讨论。积分学，包罗求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供 一套通用的方法。

微积分的基本介绍

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算    ［把上下限代入不定积分即

得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积    ］，这也是两种理论被统一成微积分学

的原因。 我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学， 但是在教学中， 微分学一般会 先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想， ‘无限细分'就是微分， ‘无限 求和'就是积分。 十七世纪后半叶， 牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作， 别离独立地建立了微积分学。 他们建立微积分的出发点是直不雅观的无穷小量， 但是理论基础是 不安稳的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世 纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论， 康托尔等建立了严格的实数理论， 这门学科才得 以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到， “极限”引入的必要性：因为，代数是人们 已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必需要利用代数处理代表无 限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概 念绕过了用一个数除以 0 的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零， 所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量， 我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧， 但是， 他的实用性证明， 这样的定 义还算比力完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、 经济学等自然科学、 社会科学及应用科学等多个分支中， 有越来越广泛的应用。 特别是计算 机的发明更有助于这些应用的不竭发展。

客不雅观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引 入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深， 也由于科学技术发展的需要， 一门新的数学分支就 继解析几何之后产生了， 这就是微积分学。 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重 要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分的本质

【参考文献】 刘里鹏 .《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》 ，长沙：湖南科学技术 出版社， 2009

1．用文字表述： 增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以 线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。

2．用式子表示：

微积分的基本方法

微积分的基本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算， 微积分的精髓告诉我们我们之所 以可以解决很多非线性问题， 本质的原因在于我们化曲为直了， 现实生活中我们会遇到很多 非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？

经过研究思考和总结，笔者认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。

笔者所看到的是， 现在的教材没有注意对这些基本问题的总结， 基本上所有的教材每讲 到积分时都还重复古人无限细分取极限的思想，讲到弧长时取极限，讲到面积时又取极限， 最后用一个约等号打发过去。 这样一来不仅让学生听得看得满头雾水， 并且很有牵强附会之 嫌，其实懂得微积分的本质和基本方法后根本不需要再那么重复。

微积分学的建立

从微积分成为一门学科来说， 是在十七世纪， 但是， 微分和积分的思想在古代就已经产 生了。

公元前三世纪， 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、 球和球冠面积、 螺线下 面积和旋转双曲体的体积的问题中， 就隐含着近代积分学的思想。 作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比力清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细，所失弥小，割之又割，以至于不成割，则与圆周和体而无所失矣。 ”这些都是朴素的、 也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来， 大约有四种主要类型的问题： 第一类是研究运动的时候直接出现的， 也就是求即 时速度的问题。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 第三类问题是求函数的最大值和最小值 问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积 相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、 天文学家、 物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作， 如法国的费马、 笛卡尔、 罗伯瓦、 笛沙格； 英国的巴罗、 瓦里士； 德国的开普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶， 在前人工作的基础上， 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨别离 在本身的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作， 虽然这只是十分初步的工作。 他们的 最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起， 一个是切线问题 （微分学的中心问题） ， 一个是求积问题 （积分学的中心问题 ）。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直不雅观的无穷小量， 因此这门学科早期也称为无穷 小分析， 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。 牛顿研究微积分着重于从运动学 来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在 1671 年写了《流数法和无穷级数》 ，这本书直到 1736 年才出版，它在这本书里 指出， 变量是由点、 线、面的连续运动产生的， 否定了以前本身认为的变量是无穷小元素的 静止集合。 他把连续变量叫做流动量， 把这些流动量的导数叫做流数。 牛顿在流数术中所提 出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给按时刻的速度（微分法） ；已知运动的速度求 给按时间内经过的路程 （积分法 ）。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者， 1684 年，他颁发了现在世界上认为是最早的 微积分文献， 这篇文章有一个很长并且很古怪的名字 《一种求极大极小和切线的新方法， 它 也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》 。就是这样一篇说理也颇含糊 的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。 1686 年，莱布尼 茨颁发了第一篇积分学的文献。 他是历史上最伟大的符号学者之一， 他所创设的微积分符号， 远远优于牛顿的符号， 这对微积分的发展有极大的影响。 现在我们使用的微积分通用符号就 是当时莱布尼茨精心选用的。