正在播放：基础微积分教学Ⅰ_中国科学技术大学

一、课程性质与任务

1．课程性质：《微积分(一)》是大学阶段经管类专业必修的基础理论课。它是自然科学与经

济领域中应用性很强的一门学科。开设该课程的目的是使学生掌握高等数学的基础理论、基本方

法和基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

2．课程任务：通过本课程的教学，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、

空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析问题、解决问题的能力。使数学思想、数学方法 、

数学的应用价值在人们身上长期发挥作用，培养 21 世纪需要的勇于开拓进取、勇于创新的人才。

通过本课程的学习，要使学生获得：函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学中不

定积分等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠

定必要的数学基础。

二、课程教学基本要求

《微积分(一)》课程安排在一年级第一个学期授课，总共 45 个学时，设置 3 个学分。

1.正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：

函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，不定积分

2.正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：

极限的主要定理，罗尔定理和拉格朗日中值定理

3.安稳掌握下列公式：

两个重要极限，基本初等函数的导数公式，基本积分公式

4.熟练掌握下列法则和方法：

导数的四则运算法则和复合函数的求导法，洛必达法则，换元积分法和分部积分法

5．理解下列概念及并会解决相关实际问题：

经济学中常用函数，边际和弹性，函数的极值和最值

成绩考核形式：平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)＋期末成绩（闭

卷考试）（70%）,成绩评定采用百分制，60 分为及格。

三、教学内容

第一章 函 数

1.教学基本要求

让学生了解函数的基本概念及性质，熟练掌握基本初等函数和初等函数的概念及性质，可以

建立简单应用问题中的函数关系。

2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能

理解函数概念，掌握函数的表示法；理解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性；理解复

合函数和分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了

解初等函数的概念；会建立简单应用问题中的函数关系；了解经济学的常用函数。

3.教学重点和难点

教学重点是函数的基本概念特别是基本初等函数和初等函数的概念及性质。教学难点是反函

数、隐函数和复合函数的概念及性质。

4.教学内容

第一节 集合

1．集合的概念

2．集合的运算

3．区间和邻域

第二节 映射与函数

1．映射的概念

2．逆映射和复合映射

3．函数的概念

4．函数的基本性态

第三节 复合函数与反函数 初等函数

1．复合函数

2．反函数

3．函数的运算

4．初等函数

第四节 函数关系的建立

第五节 经济学中的常用函数

1．需求函数

2．供给函数

3．总成本函数、总收益函数、总利润函数

4．库存函数

5．戈珀兹曲线

第二章 极限与连续

1.教学基本要求

让学生了解数列极限与函数极限的定义及其性质，理解连续的概念及性质。

2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能

理解数列极限与函数极限的定义；掌握收敛数列的性质和函数极限的性质；掌握已学过的求

极限的方法；理解一元函数连续性的定义，掌握间断点的概念及分类；了解初等函数的连续性，

掌握利用函数连续性求极限的方法；能简单应用区间上连续函数的性质。

3.教学重点和难点

教学重点是数列与函数极限的定义与性质，连续的概念及性质。教学难点是极限“



 

”

语言的理解。

4.教学内容

第一节 数列的极限

1．数列的极限

2．数列的有关概念

3．数列极限的定义

4．收敛数列的性质

第二节 函数极限

1．函数极限的定义

2．函数极限的性质

第三节 无穷大与无穷小

1．无穷大

2．无穷小

第四节 极限运算法则

第五节 极限存在准则，两个重要极限，连续复利

1．夹逼准则

2．单调有界收敛准则

3．连续复利

第六节 无穷小的比力

第七节 函数的连续性

1．函数连续性的概念

2．函数的间断点

3．初等函数的连续性

第八节 闭区间上连续函数的性质

1．最大值和最小值定理与有界性

2．零点定理与介值定理

3．均衡价格的存在性

第三章 导数，微分，边际与弹性

1.教学基本要求

让学生了解导数与微分的概念及其性质，掌握它们的运算法则。

2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能

理解导数的概念及可导性与连续性的关系，理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程和法

线方程；掌握基本初等函数导数公式，导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，掌握反函数

与隐函数及对数求导法与参数方程求导法；理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；理

解函数微分的概念，理解可微与可导的关系，了解微分的几何意义；了解微分的运算法则与一阶

微分形式不变性，会求函数的微分，了解函数微分在近似计算中的应用；理解边际与弹性的概念，

了解其经济含义，并利用其解决一些简单的经济应用问题。

3.教学重点和难点

教学重点是导数与微分的概念及其性质，求导公式与微分运算。教学难点是反函数与隐函数

及对数求导法与参数方程求导法，高阶导数的运算。

4.教学内容

第一节 导数概念

1．引例

2．导数的定义

3．导数的几何含义

4．函数的可导性与连续性的关系

第二节 求导法则与基本初等函数求导公式

1．函数的和、差、积、商的求导法则

2．反函数的求导法则

3．复合函数的求导法则

4．基本求导法则与导数公式

第三节 高阶导数

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1．隐函数的导数

2．由参数方程所确定的函数的导数

第五节 函数的微分

1．微分的定义

2．微分的几何含义

3．基本初等函数的微分公式与微分运算法则

4．微分在近似计算中的应用

第六节 边际与弹性

1．边际概念

2．经济学中见常见的边际函数

3．弹性概念

4．经济学中见常见的弹性函数

第四章 中值定理及导数的应用

1.教学基本要求

让学生理解中值定理的条件和结论，会使用洛必达法则计算极限，理解函数极值的概念，能

描绘函数的图形。

2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能

理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，掌握他们的应用方法和技巧；了解柯西中

值定理及其应用；熟练掌握洛必达法则及运用该法则求极限；理解泰勒中值定理及其应用；掌握

函数单调性、图形凹凸性的判别法；理解函数极值概念，会求函数极值；会解决简单的最值问题；

能描绘函数的图形，会求水安然安祥铅垂渐近线。

3.教学重点和难点

教学重点是中值定理的内容及其应用，洛必达法则，函数极值的概念及图形的描绘。教学难

点是中值定理的理解。

课程目录：

1.1.1]--实数理论导读

[1.1.2]--自然数的产生

[1.1.3]--自然数的表示

[1.1.4]--自然数的四则运算（1）

[1.1.5]--自然数的四则运算（2）

[1.2.1]--整数及其代数结构

[1.2.2]--有理数的定义

[1.2.3]--有理数的四则运算

[1.2.4]--有理数的性质

[1.3.1]--实数的构造

[1.3.2]--实数的完备性

[2.1.1]--不等式及其性质

[2.1.2]--常用不等式

[2.2.1]--数集的有界性与确界原理

[2.3.1]--平面直角坐标系

[2.3.2]--两点距离公式

[2.3.3]--平面直线方程

[2.3.4]--直线方程的应用

[3.1.1]--函数概念的演变

[3.1.2]--函数的定义与表示

[3.1.3]--函数的初等性质

[3.1.4]--基本初等函数

[3.2.1]--函数的运算

[3.2.2]--复合运算的性质

[3.2.3]--反函数及其性质

[3.3.1]--三角恒等式（上）

[3.3.2]--三角恒等式（下）

[3.4.1]--函数的奇偶分解

[3.4.2]--函数的周期性

[3.4.3]--正余弦函数的半角公式

[3.4.4]--正余弦函数的和角公式

[4.1.1]--极限思想的发展历程

[4.1.2]--极限概念的引入

[4.1.3]--极限的精确定义

[4.1.4]--函数极限的验证

[4.2.1]--极限的性质

[4.2.2]--函数极限的四则运算（上）

[4.2.3]--函数极限的四则运算（下）

[4.2.4]--复合函数的极限

[4.2.5]--三角函数的极限

[4.3.1]--无穷远处的极限

[4.3.2]--数列极限

[4.4.1]--按定义验证极限01

[4.4.2]--按定义验证极限02

[4.4.3]--数列极限的验证

[4.4.4]--数列极限-放缩法

[5.1.1]--极限的判别法（1）

[5.1.2]--极限的判别法（2）

[5.2.1]--重要极限（1）

[5.2.2]--重要极限（2）

[5.3.1]--极限的计算（1）

[5.3.2]--极限的计算（2）

[5.3.3]--曲线的渐近线

[5.4.1]--无穷小量及其性质

[5.4.2]--无穷小量的比力

[5.4.3]--等价无穷小量代换

[5.5.1]--极限的判定01

[5.5.2]--极限的判定02

[5.5.3]--极限计算-变量代换1

[5.5.4]--极限计算-变量代换2

[5.5.5]--极限计算-等价无穷小量代换

[5.5.6]--极限计算-根式有理化

[5.5.7]--极限计算-两边夹定理

[5.5.8]--极限计算-因式分解

[5.5.9]--极限计算-重要极限1

[5.5.10]--极限计算-重要极限2

[6.1.1]--函数的连续性

[6.1.2]--连续函数的性质

[6.1.3]--初等函数的连续性

[6.2.1]--有界闭区间上连续函数的性质

[6.2.2]--连续函数的应用

[6.3.1]--第二章总结

[6.4.1]--连续函数的性质应用1

[6.4.2]--连续函数的性质应用2

[6.4.3]--分段函数的连续性

[6.4.4]--函数的连续性与间断点

[6.4.5]--极限计算-递推公式

[6.4.6]--极限计算-确定参数

[6.4.7]--极限计算-三角恒等变换

[6.4.8]--极限计算-三角恒等式

[7.1.1]--切线的引入

[7.1.2]--切线的定义

[7.1.3]--切线的计算

[7.2.1]--导数的定义

[7.2.2]--按定义计算导数（上）

[7.2.3]--按定义计算导数（下）

[7.2.4]--导数的性质（上）

[7.2.5]--导数的性质（下）

[7.2.6]--初等函数的导数

[7.3.1]--导数的定义

[7.3.2]--导数的应用-求切线

[7.3.3]--导数计算-复合函数隐函数求导

[7.3.4]--导数应用-求极限

[8.1.1]--微分的定义

[8.1.2]--微分的性质

[8.2.1]--以直代曲

[8.2.2]--导数与微分的计算

[9.1.1]--函数的单调性与极值

[9.1.2]--函数的最值

[9.1.3]--圆锥曲线的光学性质

[9.2.1]--近似计算与误差估计

[9.2.2]--方程数值求解

[10.1.1]--高阶导数的定义与性质

[10.1.2]--高阶导数的计算

[10.1.3]--高阶微分的定义与计算

[10.2.1]--函数极值的进一步探究

[10.2.2]--函数的凹凸性与拐点

[10.2.3]--函数图像的精确描绘

[10.3.1]--导数计算-高阶导数

[11.1.1]--罗尔定理

[11.1.2]--拉格朗日中值定理

[11.1.3]--柯西中值定理

[11.1.4]--达布定理

[11.2.1]--从点态性质到整体性质

[11.2.2]--函数方程的实根分布

[11.3.1]--微分中值定理的应用01

[11.3.2]--微分中值定理的应用2

[11.3.3]--微分中值定理的应用3

[11.3.4]--微分中值定理的应用

[11.3.5]--微分中值定理的应用5

[11.3.6]--微分中值定理的应用6

[11.3.7]--微分中值定理的应用7

[11.3.8]--微分中值定理的应用8

[11.3.9]--微分中值定理的应用9

[11.3.10]--微分中值定理的应用10

[12.1.1]--零比零型不决式的极限

[12.1.2]--其它形式不决式的极限

[12.1.3]--洛必达法则的局限性

[13.1.1]--泰勒与麦克劳林多项式

[13.1.2]--泰勒多项式展开的余项

[13.1.3]--泰勒多项式展开——直接法

[13.1.4]--泰勒多项式展开——间接法

[13.2.1]--泰勒多项式展开与近似计算

[13.2.2]--泰勒多项式展开与高阶导数

[13.2.3]--泰勒多项式展开与不决式极限

[14.1.1]--微分学总结

[14.2.1]--基础微积分1总结