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课程目录

课程介绍

　本课程是数学类大学本科阶段的基础课程之一。内容包罗高等代数（即多项式理论和线性代数）和解析几何的基础知识，这是现代数学的基石，也是每个从事数学（甚至是理工科）研究和教学等工作的人员必需掌握的知识。

　　多项式理论起源于求方程的根。历史上很长一段时间内，大量的一流数学家都致力于找出一元高次方程的求根公式，其中一元二次、三次、四次方程都先后获得成功，但是五次以上方程的求根公式却在非常长的时间内成为了无人能解的难题。后来经过Abel, Galois等的努力，终于搞清楚问题的最终答案，本来五次以上的一元方程并不象低次方程那样存在只含方程系数的加、减、乘、除和开方运算的求根公式。解决这个问题的过程中，人们引进了许多新的概念，并且不成避免的考虑了一般域上的多项式的性质。这些新概念和结果后来形成了现代数学的一个重要分支—抽象代数。高等代数中我们只考虑一类特殊域—数域上的多项式，中心为因式分解定理。

　　线性代数起源于多元线性方程组的解法。线性方程组的系数和常数项按其挨次摆列就得到矩阵，齐次线性方程组的解在加法和数乘下是封闭的，这样就得到线性空间的概念，线性空间上的函数构成了代数型的概念。因此，线性代数主要包罗矩阵理论、线性空间理论和代数型理论。其中的大部分问题在每一种理论中都有等价的说法。当然，在这三种理论中，一个不成或缺的工具是必需了解的，那就是行列式的理论。

　　解析几何的创立得益于代数学的飞速发展，17世纪笛卡尔引进坐标系后，几何图形和代数方程成为等价的事物。把图形改变成数与数的关系来研究的方法就成为解析几何。我国传统的数学系课程将解析几何单独列为一门课程，主要讲述空间图形（包罗空间直线、平面和二次曲面）的代数处理方法。其实，解析几何本身与线性代数有着深刻的内在联系，例如，空间直线和平面都是由线性方程组来表示的，二次曲面的分类其实就是二次形的标准形问题。所以将这些内容加入到高等代数中来，不单节省了大量的时间，并且对学生加深两门课程的理解也是非常有益的。

　　二、课程改革

　　南开大学是我国著名大学之一, 她的基础数学科学学科是全国的重点学科,在国表里都享有盛名。特别是改革开放之后,陈省身到南开大学工作,创办了南开数学所、基础数学专业试点班(现理科人才培养基地班),南开大学数学学科的科学研究,师资队伍建设,教学及教材建设都有巨大变化,进入了空前的发展时期。

　　基础数学专业试点班是要培养基础扎实、知识面广、不雅观念现代化、能力强的高精数学人才。为达到这个目的,南开大学委派学术造诣高的教师对原有的教学计划、教学内容、教材、教学方法等进行革命性的改革。

　　高等代数与解析几何的改革是这些改革中的代表。这原是两门课程, 总共需用 4 个学期。这种情形不利于开设反映现代数学发展的新课程。陈省身先生建议由杨忠道先生(美国宾州大学教授, 南开数学所顾问)与王叔平先生(美国普度大学教授, 南开数学所顾问)负责制订这两门课程的改革方案。鉴于从纯数学的不雅观点看高等代数与解析几何, 这两门课有许多重叠的地方, 高等代数是将几何抽象化, 解析几何是以代数的方法研究几何。他们经过大量的调研, 座谈等确定将高等代数与解析几何两门课程并为一门课程。

数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的三大基础课程。南开大学数学系将解析几何与高等代数统一为一门课程，此举得到了同行们的遍及认同，本书就是力求反映这种思想的尝试。本书分上、下两册，共10章。第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包罗用行列式解线性方程组的Cramer法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。本书附有相当丰富的习题。

引言(2)

对新同学表示祝贺,并提要求。

0.1概述

简单扼要介绍本课程内容.

0.2预备事项

介绍连加号、连乘号、数学归纳法及归纳定义.

重点是数学归纳法及归纳定义.详细内容见教材的0.2.

第一章多项式

只讲一元多项式.多元多项式视情况而定. 1. 1数域(2)

注意引导同学回忆从自然数到复数的认识数的过程.强调有理数表示为两个整数的商.

内容:教材1.1.

1. 2一元多项式(2)

定义及运算.强调运算的规律,特别是与线性空间有关的规律.

内容:教材1.2.

1.3带余除法(2)

带余除法是中学未学过的,注意带余除法中商式与余式的唯一性.同余概念也是新的.

内容:教材1.3.

1.4最大公因式(2)

最大公因式的存在唯一性的理论证明、具体求法、性质,特别注意互素.

内容:教材1.4.

1.5因式分解(2)

因式分解及其唯一性定理.最大公因式、最小公倍式与因式分解的关系.

内容:教材1.5.

1.6导数重因式(2)

多项式的导数与重因式的关系.

内容:教材1.6.

1.7多项式的根(2)

用函数的不雅观点理解多项式,同一数学对象可以从不同的不雅观点、角度去理解,这是学习、研究数学重要方法.让学生有一初步体会.

代数学基本定理.不讲证明.

内容:教材1.7.

1.8有理系数多项式(2)

以一些不成约的判别法为中心.同时使同学知道,数学中仍有许多待解决的问题.

内容:教材1.8.

1.9多元多项式(2)

以对称多项式为中心讲述.

内容:教材1.9.

课时不足,可略去此节,建议在抽象代数中不讲多项式理论的应讲此内容.

1.10例(2)

内容:教材1.10.如果课时不够此节可不讲或少讲几个例子.

第二章行列式

行列式的定义、性质及应用.

2.1矩阵(1)

矩阵的引入,行、列及元素的符号.

内容:教材2.1.

2.2行列式(1)

归纳定义n阶行列式.

内容:教材2.2.

2.3行列式的性质(2)

行列式的性质及例1、例2.

内容:教材2.3.

2.4行列式的完全展开(2)

行列式的完全展开,代数余子式.

内容:教材2.4.

2.5 Cramer法则(2)

线性方程组的定义, Cramer法则.

内容:教材2.5.

2.6例(2)

通过例子介绍计算行列式的一些技巧.

内容:教材2.6.

第三章矩阵

本章主要矩阵运算及其性质.着重矩阵运算的规律和技

训练.

3.1矩阵的运算(2)

矩阵的运算中注意乘法,这是同学第一次遇到非交换的乘法.还要注意矩阵的符号(行、列和元素)的运用.为以后熟练运用打下基础.

内容:教材3.1.

3.2可逆矩阵(2)

可逆矩阵是同学在中学未曾碰到过的,注意非零方阵与可逆矩阵的区别.

内容:教材3.2.

3.3矩阵的分块(2)

分块是矩阵运算的基本技巧之一.

内容:教材3.3.

3.4矩阵的初等变换与初等矩阵(3)

初等变换源于线性方程组的加减消元法.初等变换与初

等矩阵的关系.可逆矩阵与初等变换的关系,求逆矩阵的方法.

内容:教材3.4.

3.5矩阵与线性方程组(1)

介绍线性方程组与矩阵间的关系,线行方程组的三种写法.

内容:教材3.5.

3.6例

通过一些例子进一步,进行矩阵计算技巧的训练.

内容:教材3.6.

第四章线性空间

线性空间是线性代数的最基本、最重要的概念和理论.同时也是同学第一次接触到的非常抽象的概念和理论.与几何密切结合便于同学把握.

4.1向量及其线性运算(2)

向量及其几何表示,向量运算及其性质.满足线性空间的公理.

内容:教材4.1.

4.2坐标系(3)

坐标系引入是数学发展的重要转折点,是数和形的结合.

内容:教材4.2.

4.3线性空间的定义(2)

注意线性空间的广泛性,代数、几何与数学分析中都有线性空间.

内容:教材4.3.

4.4线性相关

线性相关与线性无关是线性空间的最基础的概念,是向量共线、共面的抽象化.

内容:教材4.4.

4.5秩,维数与基(3)

掌握线性空间的向量组的极大线性无关部分组及其所含向量个数(即向量组的秩)是以后学习的关键.替换定理起很重要作用.

内容:教材4.5.

4.6矩阵的秩(3)

描述矩阵秩的多样性.求矩阵秩的方法.

内容:教材4.6.

4.7线性方程组(2)

性方程组的完整理论.线性方程组的解法.线性空间理的很好的应用.

内容:教材4.7.

4.8坐标与基变换(3)

将抽象的向量变为具体的坐标(矩阵).矩阵符号的运用,的功效.

内容:教材4.8.

4.9子空间(2)

子空间的运算,维数公式,直和.

内容:教材4.9.

4.10商空间(2)

注意商空间的几何模型.同余不雅观念的一般化.

内容:教材4.10.

4.11线性空间的同态与同构(3)

线性映射,同态及同构是现代代数学的最基本概念,为抽象代数奠定基础.

内容:教材4.11.

第五章线性变换

线性变换是特殊的线性映射,是线性代数理论的重要组成部分,也是线性代数理论用于其他学科的关键.

5.1线性变换的定义(2)

注意线性变换的广泛性.

内容:教材5.1.

5.2线性变换的运算(2)

注意线性变换运算与方阵运算的相似性.

内容:教材5.2.

5.3线性变换的矩阵(4)

将抽象的线性变换化为具体的方阵,不同基下的方阵间的关系.

内容: 5.3.

5.4特征值与特征向量(4)

特征值、特征向量及特征多项式是线性变换的重要性质.特别是Hamilton-Caylay定理不仅本身重要,并且证明中有矩阵及多项式不雅观念的转变.

内容: 5.4.

5.5具有对角矩阵的线性变换(2)

这类线性变换通常称为半(简)单的线性变换,有极其广泛的

用处.

内容:教材5.5.

5.6不变子空间(4)

这是难度最大的部分.多项式理论,线性代数理论在此处交汇在一起.提醒同学要特别注意.

内容:教材5.6.

5.7二,三维复线性空间的线性变换

为下一节做铺垫.注意计算能力的训练.

内容: 5.7.

5.8复线性空间线性变换的标准形

代数学中一个基本问题是某种代数结构的分类,每类找出一个简洁的代表,即所谓标准形. Jordan标准形就是典型的代表.用在商空间上诱导的线性变换这种思想求标准形,使同学对商空间等有更多的了解,并且这种方法也更简练.

内容:教材5.8.

第六章多项式矩阵

若课时不够,可略去本章。抽象代数中不讲模论的学校可讲此章,而不讲5.8。

6.1多项式矩阵的标准形(2)

用初等变换化标准形.

内容:教材6.1。

6.2标准形的唯一性(1)

多项式矩阵的标准的唯一性。

内容:教材6.2。

6.3矩阵相似的条件(2)

数域上两个方阵相似的充分必要条件。

内容:教材6.3。

6.4复方阵的Jordan标准形(2)

复方阵的Jordan标准形的存在及唯一性。

内容:教材6.4。

第七章Euclid空间

有度量的实线性空间是通常空间的抽象化.度量在这类空间中有重要的作用.

7.1 Euclid空间的定义(2)

引入时注意与初等数学的联系,也要注意广泛性.

内容:教材7.1

7.2标准正交基(3)

标准正交基的优点,存在性.

内容:教材7.2.

7.3 Euclid空间的同构(1)

注意与线性空间同构的不同.

内容:教材7.3.

7.4子空间(2)

注意正交补,最小二乘法.

内容:教材7.4.

7.5共轭变换正规变换(3)

度量对线性变换的影响,正规变换的标准形.后面的正交变换,对称变换是特殊的正规变换.

内容:教材7.5.

7.6正交变换(2)

正交变换与旋转,反射间的联系.

内容:教材7.6.

7.7对称变换(2)

注意对称变换的特征向量可构成标准正交基.

内容:教材7.7.

7.8酉空间及其变换(2)

有度量的复线性空间.此节可让同学本身完成证明.

内容:教材7.8.

7.9向量积与混合积(3)

这是解析几何中两种重要运算,特别是前者.从代数方面讲,前者是同学第一次遇到非交换、非结合的乘法.后者是第一次遇到的三重线性函数.

内容:教材7.9.

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