中科大高等数学上教学视频

大学理工

加载中... 人观看 2013-10-13 22:16

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课程目录

课程介绍

　　从本课程发展的主要历史沿革可以看出，为确保教学质量，我们一直坚持对国家品牌教材的选用。别的，本课程是南昌大学诸多教学改革的首选课程，如1995年开始的理工科试验班，1997年开始的高等数学挂牌教学，2001年开始的多媒体教学和双语教学。并且，这些改革都取得了很好的效果。1998年，高等数学课程被江西省教育厅评为江西省首批省级优质课程,2003年，高等数学课程又被江西省教育厅评为省级优质课程并且保举参评2003年国家精品课程。由于这些原因，使得该课程在南昌大学具有强大的影响力和很好的示范作用。我们的目标是把高等数学课程建设成为具有一流教师队伍、一流教学内容、一流教学办理且特色鲜明、教法新颖的大范围的示范性课程。我们将以现代教育理念作为指导，以培养高本质创新人才为目标，整合前期教学改革和课程建设成果，积极进行高等数学课程体系的改革与教学内容的更新，积极采用现代化的教学手段，也抓紧教学方法与考试方式的改革，在教学手段现代化方面以Mathematica、Matlab、Maple等现代国际通用软件为平台，开展计算机辅助教学研究，加强科研与教学的紧密结合，构建学生自主学习的机制，把高等数学课程建设成国表里著名的精品课程。

一、课程的性质、目的和任务

高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才办事的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；5、无穷级数(包罗傅立叶级数)；6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、总学时与学分

本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。

三、课程教学基本要求及基本内容

说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

高等数学A(一)

一、函数、极限、连续、

1. 理解函数的概念及函不偶偶性、单调性、周期性、有界性。

2. 理解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。

8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。

二、一元函数微分学

1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3. 了解高阶导数的概念。

4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

7. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包罗水安然安祥铅直渐进线)。

10. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

三、一元函数积分学

1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。

2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分步积分法。

5. 了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。了解广义积分的比力审敛法和极限审敛法，了解广义积分的绝对收敛与条件收敛的概念。

6. 了解函数及其主要性质。

7. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)。

8. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

高等数学A(二)

四、向量代数与空间解析几何

1. 会计算二阶、三阶行列式。

2. 理解空间直角坐标系。

3. 理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。

4. 掌握单位向量、标的目的余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

5. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的彼此关系解决有关问题。

6. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

8. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

五、多元函数微分学

1. 理解多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4. 了解标的目的导数与梯度的概念及其计算方法。

5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6. 会求隐函数(包罗由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。

8. 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解最小二乘法。

9. 了解二元函数的泰勒公式。

10. 了解向量函数与矢端曲线的概念，了解向量函数的导向量与微分的概念。

六、多元函数积分学

1. 理解二重积分、三重积分的概念及性质。

2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。了解重积分的换元法。

3. 理解两类曲线积分的概念、性质及彼此间关系，掌握两类曲线积分的计算方法。

4. 掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

5. 理解两类曲面积分的概念、性质及彼此间的关系，会计算两类曲面积分。

6. 掌握高斯公式，了解曲面积分与曲面形状无关的条件。

7. 了解斯托克斯(Stokes)公式。

8. 了解数量场、向量场及向量微分算子Ñ 的概念，了闭幕度、旋度的概念及其计算公式，了解无源场、无旋场及调和场的概念。

9. 会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等)。

高等数学A (三)

七、无穷级数

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和函数的概念，熟悉无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数和p--级数的收敛性。

3. 了解正项级数的比力审敛法和极限审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解绝对收敛级数的一些基本性质。

6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。了解函数项级数的一直收敛性。

7. 掌握比力简单的幂级数收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。

八、常微分方程

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)

方程，了解用变量代换求解方程的思想。

3. 会解全微分方程，能不雅观察出最简单的积分因子。

4. 会用降阶法解下列方程：

，和 .

5. 了解一阶微分方程解的存在性与唯一性定理及求近似解的步骤。了解奇解的概念。

6. 理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。

7. 掌握常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如

和

的常系数非齐次线性方程的特解。

8. 了解常系数线性方程组及尤拉(Euler)方程的解法。

9. 了解幂级数解法及勒让德(Legendre)函数。

10. 会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。