大学理工
北师大高等代数75讲
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课程介绍
高等代数的基本内容就是以矩阵为工具, 研究向量空间。主要分为两部分：一是基本的工具，如矩阵、行列式、线性方程组、多项式、二次型等。另一部分是研究线性空间的代数结构。从元素的视角看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间及直和分解；从空间之间的关系来研究空间结构，即线性映射，线性变换，线性映射的核与值域，Jordan标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。
在基本工具部分中，矩阵是重点，它贯穿于整个高等代数的始终，可以说，高等代数实际上就是矩阵代数。高等代数的另一部分中线性空间及线性变换是重点。从某种意义上讲，线性空间是3维宇宙空间抽象化的推广。所以，高等代数最大的难点就是高度抽象。高等代数是学生从具体的数学到抽象公理化的数学的一个重要过渡，一个必需通过的难关。既让学生学起来感觉容易又在学习中培养了抽象思维和创新能力是我们改革和建设这一课程所要努力解决的核心问题。为此，我们从以下几方面着手解决：
1. 合理安排教学内容的先后挨次。大多数教材先讲多项式、行列式、线性方程组，然后再讲矩阵。这样的安排违背了先易后难、循序渐进的原则，学生感到多项式理论特难掌握，行列式理论特抽象，线性方程组很复杂。其实，如果先讲矩阵代数，用矩阵的方法去处理行列式和多项式的一些理论会省时省力，且学生非常容易掌握矩阵理论。
2. 经典内容现代化。我们利用最新的研究成果将经典的内容进行最为简洁的改造处理。如传统教材中线性方程组理论这一章近50页的内容利用我们的最新研究成果只须将其看成线性空间的一节仅用6页的篇幅就可完成，并且通俗易懂，学生便于掌握。
3. 用矩阵理论处理多项式代数。目前几乎所有的教材都是利用了纯多项式理论自身的方法处理问题，没有使用矩阵去处理，造成学生认为矩阵在多项式理论中无用武之地。我们利用矩阵给出多项式的运算，利用多项式矩阵的初等变换给出了求多项式最大公因式和最小公倍式的简便方法等，学生非常容易接受，更体会到矩阵工具的强大威力。
4. 注重理论与其背景的联系、我们将原本抽象的数学概念，从实际应用中引入，并增加应用实例。
第一章 基本概念1．1 集合1．2 映射1．3 数学归纳法1．4 整数的一些整除性质1．5 数环和数域第二章 多项式2．1 一元多项式的定义和运算2．2 多项式的整除性2．3 多项式的最大公因式2．4 多项式的分解2．5 重因式2．6 多项式函数多项式的根2．7 复数和实数域上多项式2．8 有理数域上多项式2．9 多元多项式2．10 对称多项式第三章 行列式3．1 线性方程组和行列式3．2 摆列3．3 n阶行列式3．4 子式和代数余子式行列式的依行依列展开3．5 克拉默规则第四章 线性方程组4．1 消元法4．2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法4．3 线性方程组的公式解4．4 结式和判别式第五章 矩阵5．1 矩阵的运算5．2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式5．3 矩阵的分块第六章 向量空间6．1 定义和例子6．2 子空间6．3 向量的线性相关性6．4 基和维数6．5 坐标6．6 向量空间的同构6．7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间第七章 线性变换7．1 线性映射7．2 线性变换的运算7．3 线性变换和矩阵7．4 不变子空间7．5 本征值和本征向量7．6 可以对角化的矩阵第八章 欧氏空间和酉空间8．1 向量的内积8．2 正交基8．3 正交变换8．4 对称变换和对称矩阵8．5 酉空间8．6 酉变换和对称变换第九章 二次型9．1 二次型和对称矩阵9．2 复数域和实数域上的二次型9．3 正定二次型9．4 主轴问题9．5 双线性函数第十章 群，环和域简介10．1 群10．2 剩余类加群10．3 环和域附录 向量空间的分解和矩阵的若尔当标准形式§1 向量空间的准素分解凯莱-哈密顿定理§2 线性变换的若尔当分解§3 幂零矩阵的标准形式§4 若尔当标准形式索引
