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统计学知识点合集

试验和事件：对某事物或现象所进行的不雅观察或实验叫试验，把结果叫事件。

基本事件（elementaryevent）：如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，就称为基本事件。一次不雅观察只能有一个基本事件。

样本空间：一个试验中所有的基本事件的全体称为样本空间。

古典概型：如果某一随机试验的结果有限，并且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值。

统计概型：在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次（m≤n），则m/n称为事件A发生的频率。随着n增大，该频率围绕某一常数p上下波动，且波动幅度逐渐减小，趋于不变，这个频率的不变值就是该事件的概率。

概率加法：（1）两个互斥事件：P（A+B）=P（A）+P（B）；任意两随机事件：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。

事件独立（independent）：一个事件发生与否不会影响另一个事件发生的概率，公式为：P（AB）=P（A）P（B）。互斥（相依赖）必然不独立，不独立不必然互斥（相依赖）。

全概率公式：按照某一事件发生的各种原因的概率，计算该事件的概率。计算公式为：。

贝叶斯公式：在条件概率的基础上寻找事件发生的原因。计算公式为：

，分母就是全概率公式。也称为逆概率公式。该公式是在不雅观察到事件B已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Ai的概率。P(Ai)称为验前概率，P(Ai |B)是验后概率。

0-1分布：。0-1分布也称为两点分布，即非A即B。关于是否的概率统统是0-1分布。性别。

二项分布：现实生活中，许多事件只是具有两种互斥结果的离散变量。如男性和女性、某种化验结果的阴性阳性，这就是二项分布。。参数为n，p，记为X~B(n，p)。E(X)=np，D(X)=npq。当成功的概率很小，而试验次数很大时，二项分布接近泊松分布，此时=np。即P≤0.25，n＞20，np≤5。二项定理近似服从正态分布。二项分布是0-1分布的n重实验，表示含量为n的样本中，有X个所需结果的概率。

二项分布的正态近似：

，其中a=，b=，q=1-p。

超几何分布：。即二项分布中，无放回的情况。

泊松分布（poissondistribution）：用来描述在一指按时间范围内或在指定的面积之内某事件出现的次数的分布。如某企业中每月发生的变乱次数、单位时间内到达某一办事柜台需要办事的顾客人数、人寿保险公司每天收到的死亡声明个数、某种仪器每月出现故障的次数等。公式为：，E(X)=，D(X)=。是给按时间间隔内事件的平均数。

期望：各可能值xi与其对应概率pi的乘积之和为该随机变量X的期望，即。

概率密度满足的条件：（1）f(x)≥0；（2）。连续型随机变量的概率密度是其分布函数的倒数。。；

。

正态分布（normaldistribution）：正态分布的概率密度为：，x∈R。记作X~()。

正态分布图形特点：（1）f(x)≥0，即整个概率密度曲线都在x轴上方；（2）f(x)相对于x= 对称，并在x=处取到最大值，最大值为；（3）曲线的陡缓由σ决定，σ越大，越平缓，σ越小，曲线越陡峭；（4）当x趋于无穷时，曲线以x轴为渐近线。

正态分布的例子：某地区同年龄组儿童的发育特征、某公司的销售量、同一条件下产品的质量以平均质量为中心上下摆动、特别差和特别好的都是少数，多数在中间状态，如人群中的高个子和矮个子都是少数，中等身材居多等。

标准正态分布，即在正态分布中，=0，σ=1，有，即X~N（0,1）。用表示分布函数，表示概率密度。(-x)=1-(x)。

方差：即每个随机变量取值与期望值的离差平方的期望值。随机变量的方差计算公式为：。

标准差：随机变量的方差的平方根为标准差，记。标准差与随机变量X有相同的度量单位。

期望、标准差、离散系数的使用：如果期望相同，那么比力标准差；如果期望不同，那么比力离散系数。

3σ准则：由标准正态分布得：当X~N（0,1）时，P(|X|≤1)=2(1)-1=0.6826；P(|X|≤2)=2(2)-1=0.9545；P(|X|≤3)=2(3)-1=0.9973.这说明X的取值几乎全部集中在[-3,3]之间，超出这个范围的不到0.3%。将结论推广到一般正态，即X~N（,σ）时，有P(|X-|≤σ) =0.6826；P(|X-|≤2σ) =0.9545；P(|X-|≤3σ) =0.9973。可以认为X的值必然落在(-3σ, +3σ)内。

矩：（1）为样本k阶矩，其反映出总体k阶矩的信息，当k=1时，即均值；（2）为样本k阶中心矩，它反映出总体k阶中心矩的信息，当k=2时，即方差；（3）为样本偏度，它反映总体偏度的信息，偏度反映了随机变量密度函数曲线在众数两边的对称偏斜性；

(4)为样本峰度，它反映出总体峰度的信息，峰度反映密度函数曲线在众数附近的峰的尖峭程度。

充分统计量：统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量称为充分统计量。

因子分解定理：充分统计量判定方法。当X=（X1，X2，…,Xn）是来自正态分布N（，σ2）的一个样本时，若已知，则是σ2的充分统计量，若σ2已知，则是的充分统计量。

精确抽样分布和渐近分布：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出统计量T=(X1,X2,…,Xn)的分布数学表达式，这种分布就是精确抽样分布，包罗卡方、F，t分布；当n较大时，用极限分布作为抽样分布的一种近似，这种极限分布称为渐近分布，如中心极限定理。

卡方分布：设随机变量X1，X2，…，Xn彼此独立，且Xi服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和服从自由度为n的分布。E()=n；D()=2n；具有可加性；当自由度增加到足够大时，分布的概率密度曲线趋于对称，当n趋于无穷时，的极限分布是正态分布。

t分布：也称为学生氏分布。设随机变量X~N（0,1），Y~(n)，且X与Y独立，则，其分布称为t分布，记为t(n)，n是自由度。t分布的密度函数是偶函数。当n≥2时，E(t)=0,；当n≥3时，D(t)=n/(n-2)。t(n)的方差比N(0,1)大一些。自由度为1的分布称为柯西分布，随着n增加，t分布的密度函数越来越接近标准正态分布的密度函数。实际应用中，当n≥30时，t分布于标准正态分布很接近。另有一个关于t分布的抽样分布：，称为服从自由度为(n-1)的t分布。

F分布：设随机变量Y与Z独立，且Y和Z别离服从自由度为m和n的分布，随机变量X如下：。则成X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为X~F(m,n)。E(X)=n/(n-2),n>2；D(X)=,n>4。

t分布与F分布的关系：如果随机变量X服从t(n)分布，则X2服从F(1,n)的F分布。这在回归系数显著性检验中有用。

的抽样分布（samplingdistribution）：当总体分布为正态分布时，的抽样分布仍然是正态分布，此时E()=，D()=σ2/n，则。其说明当用样本均值去估计总体均值时，平均来说没有偏差（无偏性）；当n越来越大时，的散布程度越来越小，即用估计越来越准确。

中心极限定理（centrallimit theorem）：不管总体的分布是什么，只要总体的方差σ2有限且要求n≥30，此时样本均值的分布总是近似正态分布，即~N(，σ2/n)。

样本比例的抽样分布：如果在样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X，则样本比例为：。π是总体比例，即p^=X/n=π。

两个样本均值之差的分布：若为两个总体，则：

；

；若是两个样本，则：

；

。

样本方差的分布：设X1，X2，…，Xn为来自正态分布的样本，则设总体分布为N(,σ2)，则样本方差S2的分布为：。

两个样本方差比的分布：设X1，X2，…，Xn是来自正态分布的样本，y1，y2，…，yn也是来自正态分布的样本，且Xi与yi独立，则

。

参数估计（parameterestimation）：用样本统计量去估计总体的参数。

点估计（pointestimate）：用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。

区间估计（intervalestimate）：是在点估计的基础上，给出总体参数估计的而一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。

置信区间（confidenceinterval）：在区间估计中，由样本统计量所造成的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信水平（confidencelevel）：如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例为置信水平，也称为置信度或置信系数。其含义为：如果做了100次抽样，大概有95次找到的区间包含真值，而不是95%的可能落在区间，因为统计量不涉及概率问题。

无偏性（inbiasedenss）：指估计量抽样分布的期望等于被估计的总体参数。设总体参数为θ，估计量为θ^，如果E(θ^)=θ，则称θ^为θ的无偏估计量。

有效性（efficiency）：指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。

一致性（consistency）：指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数，换个说法，一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。

样本量与置信水平、总体方差和估计误差的关系：样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需的样本量也就越大；样本量与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；样本量与估计误差的平方成反比，即可接受的估计误差的平方越大，所需的样本量就越小。

圆整法则：将样本量取成较大的整数，也就是将小数点后面的数值一律进位成整数。

两类错误：一类是原假设H0为真却拒绝，这类错误用α表示，称为弃真；另一类是原假设为伪而我们却接受，这种错误用β表示，也称存伪。

两类错误的控制原则：如果减小α错误，就会增大犯β错误的机会；若减小β错误，也会增大犯α错误的机会。规则是：首先控制α错误，这是因为原假设是什么常常是明确的，而备择假设是什么则常常是模糊的。

P值：P值是当原假设为真时所得到的样本不雅观察结果或更极端结果出现的概率。P值越小，拒绝原假设的理由就越充分。P值的长处是它反映了不雅观察到的实际数据与原假设之间不一致的概率值。

双侧检验与单侧检验：双侧检验主要是检验是否相等，如90年的婴儿体重与89年婴儿体重是否相等；另一种是单侧检验，即关心的假设问题带有标的目的性，如灯泡的使用寿命，汽车行驶距离等；另一种是数值越小越好，如废品率、生产成本等。

统计量的选择：在一个总体参数的检验中，主要统计量有三个，z、t和。z和t用于均值和比例检验，用于方差检验。统计量选择步骤如下：（1）是否是大样本，如果是，那么如果总体呈正态分布，样本统计量也呈正态分布；如果总体不呈正态分布，样本统计量渐进服从正态分布；此时可以使用z统计量（2）如果是小样本，那么不雅观察σ，如果σ已知，样本统计量将服从正态分布，此时可以用z统计量（3）如果未知σ，则只能使用样本标准差，样本统计量服从t分布，应采用t统计量。t统计量的精度不如z统计量，这是总体信息σ未知所需要付出的代价。

总体比例检验公式：。P为样本比例，π0是总体比例π的假设值。

总体（population）：包含所研究的全部个体的集合，组成总体的每一个元素称为个体。当总体的范围难以确按时，可按照研究的目的来定义总体。

样本（sample）：样本是从总体中抽取的一部分元素的集合，构成样本的元素的数目称为样本量。

参数（parameter）：参数是用来描述总体特征的概括性数字度量。

统计量（statistic）：统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量。抽样的目的就是按照样本统计量估计总体参数。统计量中不能包含未知参数。

变量（variable）：说明现象某种特征的概念，特点是从一次不雅观察到下一次不雅观察结果会呈现出不同或变化。变量分为分类变量、挨次变量、数值型变量，数值型变量又分为离散型变量和连续型变量。

概率抽样（probabilitysampling）：也称随机抽样，指遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有必然的机会被选入样本。概率抽样分为简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样和多阶段抽样。

简单随机抽样（simplerandom sampling）：从包罗总体N个单位的抽样框中随机的一个一个的抽取n个单位作为样本，每个单位的入样概率是相等的。

非概率抽样（non- simplerandom sampling）：指抽取样本时不依据随机原则，而是按照研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查。包罗便利抽样、判断抽样、自愿样本、滚雪球抽样和配额抽样。

抽样误差（samplingerror）：指由于抽样的随机性引起的样本结果与总体真值之间的误差。

频数（frequency）：是落在某一特定类别或组中的数据个数。把各个类别及落在其中的相应频数全部列出，并用表格形式表示出来，称为频数分布。

列联表（contingencytable）和交叉表（cross table）：由两个或两个以上变量交叉分类的频数分布表称为列联表。二维的列联表又称为交叉表。

帕累托图（paretochart）：按各类别数据出现的频数多少排序后绘制的条形图。通过对条形图排序，容易看出哪类数据出现得多，哪类数据出现的少。

饼图（pie chart）：是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形，它主要用于表示一个样本中各组成部分的数据站全部数据的比例，对于研究结构性问题十分有用。

环形图（doughnutchart）：把饼图叠在一起，挖去中间部分就是环形图。环形图可显示多个样本部分所占的相应比例，从而有利于构成的比力研究。

累积频数（cumulativefrequencies）：将各种有序类别或组的频数逐级累加起来得到的频数，通过累积频数可以很容易看出某一类别以下或某一类别以上的频数之和。

组中值（classmidpoint）：是每一组中下限值与上限值中间的值，组中值可以作为该组数据的一个代表值，但是用组中值有一个必要的假定条件，即各组数据在本组内呈均匀分布或在组中值两侧呈对称分布，不然会产生误差。

直方图（histogram）：适用于展示分组数据分布的图形，用于大批量数据的分析。

茎叶图（stem-and-leafdisplay）：反映原始数据分布的图形，由茎叶两部分组成，其图形是由数字组成的。可以看出数据的分布形状及数据的离散情况且能保留原始信息，适用于小数据。

箱线图（box-plot）：由最大值、最小值、中位数、两个四分位数组成，主要用于反应原始数据分布的特征，还可以进行多组数据分布特征的比力。

线图（line plot）：主要用于反应现象随时间变化的特征。

散点图（scatterdiagram）：用二维坐标展示两个变量之间关系的图形。

气泡图（bubble chart）：可用于展示三个变量之间的关系。一个变量是横轴、一个变量是纵轴、一个变量用气泡大小表示。

雷达图（radar chart）：也称蜘蛛图。设有n组样本S1，S2…Sn，每个样本测得P个变量X1，X2…XP，要绘制这P个变量的雷达图，具体做法是，先画一个圆，然后将圆P等分，得到P个点，令这P个点别离对应P个变量，再将这P个点与圆心连线，得到P个辐射状的半径，这P个半径别离作为P个变量的坐标轴，每个变量值的大小由半径上的点到圆心的距离表示，再将同一样本的值在P个坐标上的点连线。这样，n个样本构成的n个多边形就是雷达图。雷达图在显示或对比各变量的数值总和时十分有用，假定各变量的取值具有相同的正负号，则总的绝对值与图形所围成的区域成正比。此外，利用雷达图可以研究多个样本之间的相似度。

众数（mode）：一组数据中出现次数最多的变量值，用表示。主要用于测度分类数据、挨次数据、数值数据的集中趋势，不受极端值影响，一组数据分布的最高峰点所对应的数值即为众数。只有在数据量较大时，众数才有意义。

中位数（median）：中位数时一组数据排序后处于中间位置上的变量值，用表示。中位数主要用于测度挨次数据和数值型数据的集中趋势，但不适用于分类数据。中位数位置为：（n+1）/2；中位数的值为。中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值影响，在研究收入分配时很有用。

平均数也称为均值（mean），是集中趋势的最主要测度值，主要适用于数值型数据，不适用于分类数据和挨次数据。平均数分为简单平均数和加权平均数，简单平均数（simple mean）的计算公式为：。按照分组数据计算的平均数称为加权平均数（weighted mean）。设原始数据被分为k组，各组的组中值别离用表示，各组变量值出现的品数别离用表示，则样本加权平均数的计算公式为：，其中n=。平均数是一组数据的重心所在，是数据误差彼此抵消后作用的结果。

几何平均数（geometricmean）：是n个变量值乘积的n次方根，用G表示，计算公式为：。几何平均数主要用于计算平均率，当所掌握的变量值本身是比率的形式时，采用几何平均法更合理。在实际中，几何平均数主要用于计算现象的平均增长率。

异众比率（variationratio）：指非众数组的频数占总频数的比例，用表示，计算公式为：。fm是众数组的频数，fi是变量值的总频数。异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差；异众比率越小，非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。异众比率可用于分类数据、挨次数据和数值型数据。

四分位差（quartiledeviation）：也称为内距或四分间距（inter-quartilerange）：是上四分位数与下四分位数之差，用表示，计算公式为：。四分位差反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，中间的数越集中；数值越大，中间的数越分散。四分位数不受极值影响。可用于挨次数据和数值数据，但不能用于分类数据。

极差（range）：也称为全距，用R表示，指一组数据的最大值和最小值之差。计算公式为：。极差容易受极端值影响。

平均差（meandeviation）：也称为平均绝对离差（meanabsolute deviation）：是各变量值与其平均数离差绝对值的平均数。用表示。平均差以平均数为中心，反应了每个数据与平均数的平均差异程度，能全面反应一组数据的平均差异程度，但由于为避免出现0而取绝对值，所以实际中应用较少。

按照未分组数据计算平均差的公式为：；

按照分组数据计算平均差的公式为：。

方差（variance）与标准差（standard variance）：方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数。方差的平方根是标准差。设样本方差为，按照分组和未分组数据计算样本方差的公式为：，其中n-1是自由度。标准差更具有实际意义。

自由度（degree offreedom）：自由度指附加各独立的不雅观测值的约束或限制的个数。当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个不雅观测值的约束个数是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值。例如，假定样本有3个数，2,4,9，则=5，那么如果前两个值取5和8，则第三个数必需取2才能使=5，所以有一个数是不能自由取值的，所以自由度是n-1。

标准分数（standardscore）：是变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，也称为标准化值或z分数，计算公式为：。标准分数给出了一组数据中各数值的相对位置。比如，如果某个数值的标准分数为-1.5，就知道该数值低于平均数1.5倍的标准差。标准分数具有均值为0，标准差为1的特性，实际上z分数只是对数据进行了线性转换。用于数据标准化和检测离散数据。

经验法估计数据的相对位置：当一组数据对称分布时，约有68%的数据在平均数±1个标准差内；约有95%的数据在平均数±2个标准差内；约有99%的数据在平均数±3个标准差内。三个标准差之外的数据称为离群点。

切比雪夫不等式（Chebyshev’sinequality）：经验法只适合对称分布数据，而切比雪夫不等式适用于任何分布的数据，但只给了下界，即所占比例至少是多少。切比雪夫不等式公式为：。按照该公式可知，至少有（1-1/2）个数据落在k个标准差之内，对于k=2，该不等式的含义是，至少有75%的数据落在±2个标准差之内。

离散系数：也称为变异系数（coefficientof variation），是一组数据的标准差与其相应的平均数之比，计算公式为：。离散系数是测度数据离散程度的相对统计量，主要是用于比力不同样本数据的离散程度。离散系数大，说明数据的离散程度大。离散系数是比力平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值的离散程度。

离散测度总结：分类数据主要用异众比率来测度离散程度；挨次数据主要用四分位数来测度离散程度；数值数据主要用方差和标准差测度离散程度；而对于不同的样本数据，用离散系数比力离散程度。

偏态（skewness）：偏态是对数据分布对称性的测度。测度偏态的统计量是偏态系数（coefficient of skewness），记作SK。按照未分组和分组的原始数据计算偏态系数的公式为：。如果一组数据的分布是对称的，则偏态系数等于0，表白分布是对称的，若偏态系数大于1或小于-1，则称为高度偏态分布；若偏态系数在0.5~1或-1~-0.5，则是中等偏态分布。按照分组的SK公式中，很明显是将离差的三次方的平均数除以，是将偏态系数转化为相对数。