上海交通大学-高等数学课程-乐经良

考研数学

加载中... 人观看 2019-03-25 11:32

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课程目录

课程介绍

　　《高等数学》课程是理工科各专业的必修课程。本课程不仅为学生提供了学习相关专业所需的必备基础，也是培养学生的数学素养、理性思维、逻辑推理能力的主要载体，同时在培养科学审美意识等方面发挥着独特的作用。目前我校已在理、工、经、管类的多个专业开设了《高等数学》课程，授课面占全校学生总数的80%以上。同时《高等数学》也是信息、物理、化学、经济、教育、办理等标的目的各专业的考研必考课程。

1. 课程的重点

本课程的研究对象是函数，而研究问题的根本方法是极限方法，极限方法贯穿于整个课程。本课程的重点是教会学生在掌握必要的数学知识（如导数与微分、定积分与重积分、曲线积分与曲面积分以及级数理论等）的同时，培养学生应用数学的思想方法解决实际问题的意识、兴趣和创新能力。具体如下：

1.1 重要概念：函数、复合函数、极限、连续、导数、微分、极值、原函数与不定积分、定积分、变上限的积分作为其上限的函数、空间直角坐标系、向量的概念及其表示、二次曲面方程、二元函数、二元函数偏导数与全微分、二元函数极值与条件极值、二重积分、两类曲线积分、无穷级数收敛、发散以及和；

1.2 重要理论：罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，变上限的积分求导定理，二阶线性微分方程解的结构；

1.3 重要方法：极限的有理运算法则，导数的有理运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数的导数公式，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性和求极值的方法，牛顿－莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法，科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），向量的运算（线性运算、数量积、向量积），单位向量、标的目的余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法，平面的方程和直线的方程及其求法，复合函数一阶偏导数的求法，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），格林（Green）公式，正项级数的比值审敛法，简单幂级数收敛区间的求法，变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

2. 课程的难点

本课程的教学难点在于由实际问题抽象出有关概念和其中所蕴涵的数学思想，培养学生应用数学的思想方法解决实际问题的意识、兴趣和能力；一元函数的极限定义并用定义证明极限、微分中值定理证明题、定积分的应用、多元复合抽象函数的求偏导、三重积分和曲面积分，按照实际问题建立微分方程等内容是高等数学学习过程中的难点。具体如下：

极限的定义，两个重要极限，用等价无穷小求极限，闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理，高阶导数，隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数，罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，用洛必达（L"Hospital）法则求不定式的极限，泰勒（Taylor）定理，最大值与最小值的应用问题，积分中值定理，变上限的积分求导定理，两类反常积分，全微分存在的必要条件与充分条件，求抽象复合函数的二阶导数，隐函数（包罗由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的偏导数计算，条件极值的拉格朗日乘数法，三重积分的球面坐标计算，平面线积分与路径无关的条件，格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，无穷级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级数的比力审敛法，交错级数的莱布尼茨定理，将一些简单的数展开成幂级数，函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

3. 解决办法

对于师范院校理工科类高等数学，讲授时一般以物理、力学和工程中的数学模型为背景引出问题，采取启发式教学以及现代化教学手段，讲清思想，加强基础；注意连续和离散的关系，加强函数的离散化处理，注意培养学生研究问题和解决实际问题的能力；注意教学内容与建立数学模型之间的联系。在微积分学的应用中，更是关注物理模型的建立和研究思想。曲线与曲面积分的有关内容，在讲授时，更加注意可接受性，采用由直不雅观到抽象、由特殊到一般的方法循序渐进，逐步深入。

别的，重点、难点内容多配备标题问题，课堂讲解通过典型例题的分析过程和解决过程掌握重点、突破难点；课外还安插必然量的练习题；每周各班均安排一次答疑时间。