第一章

1、矩阵乘法

矩阵乘法通常满足分配律

而一般不满足交换律

即 AB!=BA

f(x),g(x)为多项式，有：

f(A)g(A)=g(A)f(A)

f(A)g(B)!=g(B)f(A)

2、矩阵的转置

（A+B)^T=A^T+B^T

（AB)^T=B^TA^T

（kA)^T=kA^T

（A^T)^T=A

若A^t=-A 称A为反对称矩阵

（斜对称矩阵）

任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和

反对称矩阵之和。

3、矩阵的初等变换

4、逆矩阵

B唯一，B的逆为A。

(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）

(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）

①A可逆

②AX=0只有零解

③Ab=0有唯一解 

  〔①、③即为克拉默法则〕

④A≌Ⅰ（等价）

最简判断方法：det!=0

逆矩阵求法：

（A , I）—→（I , A^(-1））

5、分块矩阵  （注意使用即可）

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第二章

1、性质（①、②为矩阵的某两行）

某一行全为零，det=0

某两行对应元成比例，则det=0

①→k·①，则det→k·det

①→k·②+①，则det不变

①←→②，则det→（-det）

detA=det（A^T）

detA^-1=1/detA

detAB…N=detAdetB……detN

det（kA）=k^n（detA）

#伴随矩阵的性质y

推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ

若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A*

det(A*）=（detA)^(n-1）

(kA)*=k^(n-1）A*

(A*)^(-1）= A^(-1)*

(A^T)* =（A*)^T

(AB)* = B*A*

(A*)*=(detA)^(n-2) A

r(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA

2、矩阵的秩

定义：矩阵A的非零子式的最高阶

数称为A的秩，零矩阵的秩为0。

性质：

A可逆←→R（A）=n

R（A）=0←→A=0

R（A）=R（A^T）

k≠0时，R（kA）=R（A）

若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）

A≌B←→R（A）=R（B）

（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩

经过行初等变化把矩阵换为行最简，

即可得到秩。

（2）加边子式法（从定义出发）

如找到一个r阶子式M!=0,

那么仅需计算r+1阶子式，

即子式的加边，

如果他们都等于零，那么rankA=r

补充:R(A+B)<=R(A)+R(B)

Max{R(A),R(B)}<=R[(A,B)]

<=R(A)+R(B)

R(AB)<=min{R(A),R(B)}

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第三章

1、向量

内积，外积，混合积

几何意义：

外积：平行四边形的面积

混合机：平行六面体的体积

2、平面与直线的方程

平面的方程：

点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

【过点（x0 , y0, z0），

   法向量n=(A, B, C)】

一般式:Ax+By+Cz+D=0

【法向量n=(A, B, C)】

截距式: x/a + y/b + z/c = 1

【平面在x,y,z轴上的截距别离为a,b,c】

直线的方程 ：

点向式:（x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p

【过点（x0, y0, z0），

   标的目的向量n=（A, B, C）】

参数方程:①x=x0+mt       ②y=y0+nt

③z=z0+pt

3、平面，直线 位置关系

直线与直线：关注s1,s2,

(标的目的向量)m1m2的关系，

注意混合积的使用

平面与平面：A1/A2,B1/B2,

C1/C2,D1/D2 的等式关系

直线与平面

公式 ：平面平面夹角  

点到平面的距离  

直线直线的夹

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第四章

1、向量的线性组合

2、向量组的线性相关性

等价命题  A=(α1……αn）:

1. α1,……,αn 线性 相关 / 无关

2. Ax=0 有非零解 / 只有零解

3. det(A) = 0 / !=0

4. R(A) < n / R(A) = n

推论：设m维向量组α1……αn,

n>m,则α1……αn 必线性相关。

典型列：

将标题问题α1……αn线性相关与否

转变为对行列式值或矩阵的秩的

问题，使得问题简化。

定理：

向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。

向量组α1……αm线性相关的充分必要条件是其中至少有一个

3、向量组的秩与极大无关组

定义:向量组T中α1,α2,…,αr线性无关，

并且T中任意r+1个向量都线性相关，

则α1,α2,…,αr为T的一个最大无关组，

数r称为向量组T的秩。

(推论: 向量组的任意一个最大无关组

都与这个向量本身等价）

几个相关结论：

矩阵A的秩=A的行向量组的秩=A的列向量组的秩（应用于求解最大无关组）

设向量组α1,α2,…,αr可由向量组β1,β2,…,βs线性表出，若α1,α2,…,αr线性无关，则r≤s 若α1,α2,…,αr线性相关，则r＞s

两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同，等价向量组有相同的秩，但秩相同的两个向量组不必然等价

4、线性方程组

齐次：

AX=0解向量的线性组合也是它的解

解空间的基称为基础解系（只有齐次线性方程组有非零解即系数矩阵为降秩矩阵时才存在基础解系），基础解系都线性无关，且能够线性表出任一解向量。

基础解系所含向量的个数=解空间的维数=n-r，(n为方程组的未知数个数，r为系数矩阵的秩）

齐次线性方程组的通解：

X=k1ξ1+k2ξ2+…+knξn

(k1,k2,…，kn为常数）

非齐次：

若η1，η2是方程组AX=b的解，则η1-η2是其导出组AX=0的解。

若η是AX=b的解，ξ是AX=0的解，则η+ξ是AX=b的解。

若η。是AX=b的一个特解，ξ是AX=0的一个解，则AX=b的任一解η可表示为η=η。+ξ

非齐次线性方程组的通解：X=η。+k1ξ1+k2ξ2+…+k（n-r）ξn（n-r）(k1,k2,…，k（n-r）为常数）

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第五章

1、特征值与特征向量

定义: 若Aα=λα,则λ是A一个特征值，

α为A对应于特征值λ的一个特征向量

性质：方程n个特征值之和等于方程

的组队角元之和，(迹)n个特征值

之积等于方程的行列式。

计算：（λⅠ-A)X=0 

导出λ1……λn （注意重根）

以及相应的特征向量

（注意取值时的线性无关性）

2、相似矩阵

定义：

如果存在可逆矩阵P使得

B=P^(-1）AP，

则称A与B相似（A∽B）。

相似对角化：

n阶矩阵A与对角矩阵diag（λ1,λ2,…,λn）相似←→λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值。

若A的特征值都是单根，则A与对角矩阵相似。

n阶矩阵A与对角矩阵相似←→A有n个线性无关的特征向量。

步骤：

计算‖λⅠ-A‖，求出A的全部特征值λ1,λ2,…,λn

别离求出（λⅠ-A）X=0的基础解系

以A的n个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵P=(α1,α2,…,αn),

则P^(-1)AP=diag（λ1,λ2,…,λn)。

实对称矩阵的相似对角化

性质: ①实对称矩阵的特征值都是实数。

定理: 任一n阶实对称矩阵A，都存在一个正交矩阵C。

3、 n维向量的正交性

向量的内积：

设α=（a1,a2,…,an）,

β=（b1,b2,…,bn）,

(α，β)=αβ^T称为α与β的内积。

正交矩阵定义：

若实矩阵A满足AA^T=A^TA=Ⅰ，

则称A为正交矩阵。

性质：

A为正交矩阵←→A^T=A^(-1）

A为正交矩阵，则detA=±1

A,B为正交矩阵，则AB也是正交矩阵

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第六章

1、实二次型及其标准形

将二次型表示为f(X)=X^tAX

X=CY  线性变换

矩阵的合同：A,B为n阶方阵，

如果存在可逆矩阵C，

使得B=C^TAC，则称A与B合同。

标准形: d1y1^2+d2y2^2+…+dnyn^2

用正交变换化二次型为标准型

2、正定二次型与正定矩阵

相关概念：

设f(X)=X^TAX是实二次型，

如果任一非零实向量X，

都有f(X)=X^TAX＞0，

则称f(X)为正定二次型，

f(X)的矩阵A称为正定矩阵。

正定二次型的判定（以下几点等价）：

二次型f(X)=X^TAX为正定二次型（或者说，A是正定矩阵）

矩阵A的特征值全为正实数

f(X)的正惯性指数为n，即各项系数都大于0

矩阵A与单位矩阵Ⅰ合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CC^T

A的各阶挨次主子式全大于零

曲面与空间直线

与x轴平行，方程形式：f(y,z）=0

与y轴平行，方程形式：f(x,z）=0

与z轴平行，方程形式：f(x,y）=0

旋转曲面：空间曲线c(曲面的母线)

绕一条定直线l(旋转轴)旋转一周得到

变换口诀：“绕谁旋转，谁就不变”

例：yOz平面上的曲线f(y,z)=0(x=0)

绕z轴旋转一周所产生的旋转曲面的

方程为f(±(x^2+y^2)^(1/2)), z)=0。

二次曲面（即关于x,y,z的二次方程表示的方程）：

椭球面:

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

（a=b=c时则为球面）

抛物面：①椭圆抛物面：

z=x^2/(2p)+y^2/(2q)（pq>0）

双曲面: ①单叶双曲面:

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1